Cho tam giác $ABC$.
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm $I$ thoả $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$.
b) Tìm quỹ tích điểm thoả mãn $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$.

Question

DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}ight|=\left|\overrightarrow{MB}ight|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}ight|=k\left|\overrightarrow{AB}ight|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}ight|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B 
eq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$. Cho tam giác $ABC$. a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm $I$ thoả $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$. b) Tìm quỹ tích điểm thoả mãn $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}ight|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}ight|$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+3\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)+4\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}=-\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}$ suy ra $I$ tồn tại và duy nhất. b) Với $I$ là điểm được xác định ở câu a), ta có $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=9\overrightarrow{MI}+\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\right)=9\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$ nên $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right| \Leftrightarrow \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right| \Leftrightarrow MI=\frac{AB}{9}$. Vậy quỹ tích của $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{AB}{9}$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 62