Cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn điều kiện sau:
a) $\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right\|=\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right\|$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$, với $k$ là số thực thay đổi khác $0$.

Question

DẠNG 7. XÁC ĐỊNH ĐIỂM, TẬP HỢP ĐIỂM THOẢ MÃN ĐẲNG THỨC VEC TƠ. Để tìm tập hợp điểm $M$ thoả mãn điều kiện véc-tơ ta quy về một trong các dạng sau: Nếu $\left|\overrightarrow{MA}ight|=\left|\overrightarrow{MB}ight|$, với $A, B$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường trung trực của đoạn $AB$. Nếu $\left|\overrightarrow{MC}ight|=k\left|\overrightarrow{AB}ight|$, với $A, B, C$ phân biệt cho trước thì $M$ thuộc đường tròn tâm $C$, bán kính bằng $k\left|\overrightarrow{AB}ight|$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, với $A, B, C$ phân biệt và $k$ là số thực thay đổi thì: + $M$ thuộc đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ với $k \in \mathbb{R}$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k>0$. + $M$ thuộc nửa đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ và ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ với $k<0$. Nếu $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$, $B 
eq C$, với $A, B, C$ thẳng hàng và $k$ thay đổi thì tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $BC$. Cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thoả mãn điều kiện sau: a) $\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}ight\|=\left\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}ight\|$. b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}ight)$, với $k$ là số thực thay đổi khác $0$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-15. TICH 1 SO VS 1 VECTO/F. BAI TAP NANG CAO/image843.png] a) Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MF}$. Khi đó $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right| \Leftrightarrow \left|2\overrightarrow{ME}\right|=\left|2\overrightarrow{MF}\right| \Leftrightarrow ME=MF$. Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường trung trực $EF$. b) Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)-3\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\right)$ $=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{HB}$ (với $H$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AH}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$). Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right) \Leftrightarrow 2\overrightarrow{ME}=2k\overrightarrow{HB} \Leftrightarrow \overrightarrow{ME}=k\overrightarrow{HB}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $E$ và song song với $HB$, trừ điểm $E$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 61