Cho hàm số $ y=\frac { x+1 } { x-1 } $ có đồ thị là đường cong $ \left ( { C } \right ) $. Giả sử $ A,B $ là hai điểm thuộc hai nhánh và $ AB $ đi qua tâm đối xứng của $ \left ( { C } \right ) $.

a) Đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ có TCĐ: $ x=1 $; TCN: $ y=1 $, nên tâm đối xứng của $ \left ( { C } \right ) $ là $ I\left ( { 1;1 } \right ) $. Vậy a) Sai. b) Ta có $ y'=-\frac { 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } < 0,∀x\neq 1 $ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $ \left ( { -\infty ;1 } \right ) $. Vậy b) Đúng. c) Hệ số góc của tiếp tuyến là $ k=-2 $. Giả sử $ M\left ( { a;b } \right ) $ là tiếp điểm. Khi đó: $ y'\left ( { a } \right )=-2⇔-\frac { 2 } { \left ( { a-1 } \right ) ^ { 2 } }=-2⇔\left[ \begin{array}{l} a=0 \\ a=2 \end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l} M\left ( { 0;-1 } \right ) \\ M\left ( { 2;3 } \right ) \end{array} \right. $ + Phương trình tiếp tuyến tại $ M\left ( { 0;-1 } \right ):y=-2x-1 $ (loại do trùng) + Phương trình tiếp tuyến tại $ M\left ( { 2;3 } \right ):y=-2\left ( { x-2 } \right )+3=-2x+7 $ (thoả mãn) Có 1 tiếp tuyến phân biệt với đường thẳng đã cho thỏa mãn. Vậy c) Đúng. d) Giả sử điểm $ A\left ( { 1+a;1+\frac { 2 } { a } } \right ) $ với $ a>0 $ thuộc nhánh phải của $ \left ( { C } \right ) ⇒B=\left ( { 1-a;1-\frac { 2 } { a } } \right ) $ đối xứng với $ A $ qua tâm đối xứng $ I\left ( { 1;1 } \right ) ⇒AB=\sqrt[] { 4a ^ { 2 } +\frac { 16 } { a ^ { 2 } } }\geq \sqrt[] { 2.\sqrt[] { 4a ^ { 2 } .\frac { 16 } { a ^ { 2 } } } }=4 $. Dấu “=” xảy ra $ ⇔a=\sqrt[] { 2 } $. Hay giá trị nhỏ nhất của $ AB $ bằng $ 4 $ khi $ a=\sqrt[] { 2 } $. Vậy d) Sai.