(Chuyên Hạ Long 2025) Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục $ Oxy $ như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số $ y=\frac { 2x+1 } { x-1 } $ và đường đi khi đó ứng với đường thẳng $ \left ( { d } \right ):y=-x+4 $. Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $ \left ( { d_{ 1 } } \right ):y=-x+m $ (với $ m>4 $) song song với $ \left ( { d } \right ):y=-x+4 $ và cắt $ (C):y=\frac { 2x+1 } { x-1 } $ tại hai điểm phân biệt $ B,C $ ($ x_{ B } ;x_{ C } >1 $) Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { d_{ 1 } } \right ) $ và $ (C) $: $ \frac { 2x+1 } { x-1 }=-x+m⇔x ^ { 2 } +\left ( { 1-m } \right )x+m+1=0. $ $ Δ=m ^ { 2 } -6m-3>0⇔\left[ \begin{array}{l} m>3+2\sqrt[] { 3 } \\ m < 3-2\sqrt[] { 3 } \end{array} \right.⇔m>3+2\sqrt[] { 3 } $ (vì $ m>4 $) (1) Khi đó ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ C } +x_{ B } =m-1 \\ x_{ C } .x_{ B } =m+1 \end{array} \right. $ Suy ra: $ CB=\sqrt[] { \left ( { x_{ B } -x_{ C } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ B } -y_{ C } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { x_{ B } -x_{ C } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -x_{ B } +m+x_{ C } -m } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2\left ( { x_{ B } -x_{ C } } \right ) ^ { 2 } } $ $ ⇒CB ^ { 2 } =2\left ( { x_{ B } -x_{ C } } \right ) ^ { 2 } =2\left ( { x_{ B } +x_{ C } } \right ) ^ { 2 } -8x_{ B } .x_{ C } =2m ^ { 2 } -12m-6 $ Mặt khác chọn $ I\left ( { 0;4 } \right )\in \left ( { d } \right ) $, ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng $ \left ( { d } \right );\left ( { d_{ 1 } } \right ) $ bằng $ AB=d\left ( { I;\left ( { d_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { \left | { 4-m } \right | } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { m-4 } { \sqrt[] { 2 } } $ Để $ ABCD $ là hình vuông thì $ AB ^ { 2 } =BC ^ { 2 } ⇔\frac { \left ( { m-4 } \right ) ^ { 2 } } { 2 }=2m ^ { 2 } -12m-6⇔m=\frac { 8±2\sqrt[] { 37 } } { 3 } $ Kết hợp điều kiện (1) suy ra $ m=\frac { 8+2\sqrt[] { 37 } } { 3 } $ Vậy khoảng cách giữa hai cột đèn bên bờ hồ bằng $ \frac { \frac { 8+2\sqrt[] { 37 } } { 3 }-4 } { \sqrt[] { 2 } }≈1,92. $