(Cụm Hưng Yên 2025) Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + mx - 1}{x - 1}$ có đồ thị là $(C)$ ($m$ là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị của $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho $OA \perp OB$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $y = m$ là: $$ \frac{x^{2} + mx - 1}{x - 1} = m \Leftrightarrow x^{2} + mx - 1 = mx - m \Leftrightarrow x^{2} + m - 1 = 0 \quad (x \neq 1). $$ Điều kiện để có hai điểm phân biệt: $\Delta' = 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1$ và $g(1) = m \neq 0$. Gọi $A(x_{1}; m), B(x_{2}; m)$. $OA \perp OB \Leftrightarrow \vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0 \Leftrightarrow x_{1}x_{2} + m^{2} = 0$. Theo Vi-et, $x_{1}x_{2} = m - 1$, thay vào: $$ m - 1 + m^{2} = 0 \Leftrightarrow m^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \text{ (thỏa mãn } m < 1, m \neq 0). $$ Tổng bình phương các giá trị của $m$ là $m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = (m_{1} + m_{2})^{2} - 2m_{1}m_{2} = (-1)^{2} - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.