Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 62

Gọi $x,y$ lần lượt là số chiếc bánh mì và chai nước khoáng mà lớp Việt định mua để bán. Khi đó từ giả thiết ta có: $x,y\in \mathbb{N}$.

Mặt khác từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x+y\leq 200 \\ 15000x+5000y\leq 2000000 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y\leq 200 \\ 3x+y\leq 400 \end{array} \right.$
Nếu bán hết thì lợi nhuận lớp Việt có được là: $T=5x+3y$ (nghìn đồng).
Để tìm lợi nhuận lớn nhất ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $d=5x+3y$.
Trước hết, ta biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ x+y\leq 200 \\ 3x+y\leq 400 \end{array} \right.$ trên mặt phẳng $Oxy$, là miền tứ giác $OABC$.
Khi đó các cặp $(x;y)$ thoả mãn đề bài là các cặp số tự nhiên sao cho điểm $M(x;y)$ nằm trong miền tứ giác $OABC$.
Ta có $d=5x+3y=\sqrt{34}\cdot \frac{|5x+3y|}{\sqrt{5^2+3^2}}=\sqrt{34}\cdot d(M,\Delta)$, với $\Delta$ là đường thẳng có phương trình $5x+3y=0$.
Gọi $k$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $\Delta$. Khi đó ta có $d(M,\Delta)=d(k,\Delta)$. Do đó $d$ lớn nhất tương ứng với khoảng cách giữa $k$ và $\Delta$ lớn nhất. Từ hình vẽ ta có khoảng cách giữa $k$ và $\Delta$ lớn nhất khi $M$ trùng $B$. Do đó giá trị lớn nhất của $d$ là $\sqrt{34}\cdot \frac{|5\cdot 100+3\cdot 100|}{\sqrt{5^2+3^2}}=800$.
Vậy lợi nhuận tối đa mà lớp Việt có thể đạt được là 800 nghìn đồng khi các bạn mua và bán được 100 chiếc bánh mì và 100 chai nước.
Lưu ý. Dạng toán này các em đã được gặp ở phần hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tuy nhiên khi đó các em thường công nhận kết quả là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất đạt được tại đỉnh của miền đa giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà không có giải thích rõ ràng. Bài giải này là một minh hoạ cho cách chứng minh chặt chẽ của dạng toán này. Đây là một cách làm thú vị thông qua hình học toạ độ.