Bài tập nâng cao · Bài 6
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 6
Lập số có 5 chữ số khác nhau $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ từ các chữ số $1;2;3;4;5$. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số được tạo thành. Xác suất để số chọn được thỏa mãn $a_{1} +a_{2} < a_{3} +a_{4}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Lập số có 5 chữ số khác nhau từ tập đã cho, mỗi số lập được là một hoán vị của 5 chữ số $1;2;3;4;5$ nên ta được $5!=120$ số.
Chọn một số trong các số được tạo thành. Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( { \Omega } \right)=120$.
Vì $1+2+3+4+5=15$ mà $a_{1} +a_{2} < a_{3} +a_{4}$ nên xảy ra các trường hợp sau:
TH1: $a_{1} +a_{2} =3$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,2 \end{array} \right\}$: có 2 cách chọn.
+ Có thể chọn $a_{3},\,a_{4}$ từ một trong các bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,4 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,5 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$: có $3.2!=6$ cách.
Vậy trường hợp này có $2.6=12$ số thỏa mãn.
TH2: $a_{1} +a_{2} =4$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,3 \end{array} \right\}$: có 2 cách chọn.
+ Có thể chọn $a_{3},\,a_{4}$ từ một trong các bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 2;\,4 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 2;\,5 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$: có $3.2!=6$ cách.
Vậy trường hợp này có $2.6=12$ số thỏa mãn.
TH3: $a_{1} +a_{2} =5$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ một trong hai bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\ 4 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 3 \end{array} \right\}$: có $2.2!=4$ cách.
+ Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;\ 4 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ một trong hai bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,5 \end{array} \right\}$.
Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 3 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ một trong hai bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$.
Từ đó số cách chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ là $2.2!=4$ cách.
Vậy trường hợp này có $4.4=16$ số thỏa mãn.
TH4: $a_{1} +a_{2} =6$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ một trong hai bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 2;4 \end{array} \right\}$: có $2.2!=4$ cách.
+ Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;5 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;4 \end{array} \right\}$.
Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;4 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;5 \end{array} \right\}$.
Từ đó số cách chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ là 2 cách.
Vậy trường hợp này có $4.2=8$ số thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{12+12+16+8}{120}=\frac{2}{5}$.
Chọn một số trong các số được tạo thành. Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( { \Omega } \right)=120$.
Vì $1+2+3+4+5=15$ mà $a_{1} +a_{2} < a_{3} +a_{4}$ nên xảy ra các trường hợp sau:
TH1: $a_{1} +a_{2} =3$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,2 \end{array} \right\}$: có 2 cách chọn.
+ Có thể chọn $a_{3},\,a_{4}$ từ một trong các bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,4 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,5 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$: có $3.2!=6$ cách.
Vậy trường hợp này có $2.6=12$ số thỏa mãn.
TH2: $a_{1} +a_{2} =4$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,3 \end{array} \right\}$: có 2 cách chọn.
+ Có thể chọn $a_{3},\,a_{4}$ từ một trong các bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 2;\,4 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 2;\,5 \end{array} \right\}$, $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$: có $3.2!=6$ cách.
Vậy trường hợp này có $2.6=12$ số thỏa mãn.
TH3: $a_{1} +a_{2} =5$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ một trong hai bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;\ 4 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 3 \end{array} \right\}$: có $2.2!=4$ cách.
+ Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;\ 4 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ một trong hai bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 3;\,5 \end{array} \right\}$.
Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;\ 3 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ một trong hai bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;\,5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 4;\,5 \end{array} \right\}$.
Từ đó số cách chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ là $2.2!=4$ cách.
Vậy trường hợp này có $4.4=16$ số thỏa mãn.
TH4: $a_{1} +a_{2} =6$.
+ Khi đó $a_{1},a_{2}$ được chọn từ một trong hai bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 1;5 \end{array} \right\}$ và $\left\{ \begin{array}{l} 2;4 \end{array} \right\}$: có $2.2!=4$ cách.
+ Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 1;5 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;4 \end{array} \right\}$.
Nếu chọn $a_{1},a_{2}$ từ bộ $\left\{ \begin{array}{l} 2;4 \end{array} \right\}$ thì chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ từ bộ số $\left\{ \begin{array}{l} 3;5 \end{array} \right\}$.
Từ đó số cách chọn $a_{3},\,\ a_{4}$ là 2 cách.
Vậy trường hợp này có $4.2=8$ số thỏa mãn.
Vậy xác suất cần tìm là $P=\frac{12+12+16+8}{120}=\frac{2}{5}$.