Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 7
Cho 2020 số tự nhiên từ $1,{ \rm{ } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{, } }{ \rm{ } }{ \rm{. } }{ \rm{. } }{ \rm{. } }{ \rm{. } }{ \rm{, } }{ \rm{ } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{. } }$ Lấy ngẫu nhiên 4 số. Xác suất để 4 số được chọn có 2 số liên tiếp?
Xem lời giải
Lời giải
Không gian mẫu $C_{2020} ^{4}$.
Biến cố A: ‘4 số được chọn có 2 số liên tiếp’’
Ta loại đi 4 số: $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ mà không có hai số liên tiếp.
Đặt $b_{i} =a_{i} +1-i{ \rm{ } }\left( { 1\leq i\leq 4 } \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b_{i} \end{array} \right\}$ phân biệt và không có hai số liên tiếp.
Ta có: $a_{i} \leq 2020\Rightarrow b_{i} \leq 2020{ \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ - } }{ \rm{ } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ = } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 7 } }$ Do đó số cách chọn 4 số không có 2 số liên tiếp là: $C_{2017} ^{4}$ Vậy xác suất để chọn được 2 số liên tiếp là: $P\left( { A } \right)=\frac { C_{2020} ^{4}-C_{2017} ^{4} } { C_{2020} ^{4} }\approx 0.00593$.
Biến cố A: ‘4 số được chọn có 2 số liên tiếp’’
Ta loại đi 4 số: $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ mà không có hai số liên tiếp.
Đặt $b_{i} =a_{i} +1-i{ \rm{ } }\left( { 1\leq i\leq 4 } \right)$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b_{i} \end{array} \right\}$ phân biệt và không có hai số liên tiếp.
Ta có: $a_{i} \leq 2020\Rightarrow b_{i} \leq 2020{ \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ - } }{ \rm{ } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ = } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 7 } }$ Do đó số cách chọn 4 số không có 2 số liên tiếp là: $C_{2017} ^{4}$ Vậy xác suất để chọn được 2 số liên tiếp là: $P\left( { A } \right)=\frac { C_{2020} ^{4}-C_{2017} ^{4} } { C_{2020} ^{4} }\approx 0.00593$.