Bài tập nâng cao · Bài 25
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 25
Gọi $ S $ là tập hợp các số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lấy từ các chữ số $ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 $. Chọn ngẫu nhiên một số từ $ S $. Tính xác suất $ P $ để được một số chia hết cho $ 11 $ và tổng của bốn chữ số của nó cũng chia hết cho $ 11 $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số có bốn chữ số là $ abcd $.
Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { 1000a+100b+10c+d } \right )\vdots 11 \\ \left ( { a+b+c+d } \right )\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 10a+b+10c+d\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9\left ( { a+c } \right )\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ b+d\vdots 11 \end{array} \right. $.
Các bộ số có tổng các chữ số chia hết cho $ 11 $ là $ \left ( { 2;9 } \right ),\,\,\left ( { 3;8 } \right ),\,\,\left ( { 4;7 } \right ),\,\,\left ( { 5;6 } \right ) $.
Không gian mẫu: $ n\left ( { Ω } \right )=A_{ 9 } ^{ 4 }=3024. $
Gọi $ A $ là biến cố cần tìm xác suất.
Chọn $ 1 $ bộ số sau đó đặt vào vị trí của $ a,c $ có $ 4.2! $ cách.
Chọn $ 1 $ bộ số trong ba bộ còn lại đặt vào vị trí của $ b,d $ có $ 3.2! $ cách.
Suy ra $ n\left ( { A } \right )=4.2!.3.2!=48 $.
Do đó: $ P\left ( { A } \right )=\frac { 48 } { 3024 }=\frac { 1 } { 63 } $.
Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { 1000a+100b+10c+d } \right )\vdots 11 \\ \left ( { a+b+c+d } \right )\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 10a+b+10c+d\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9\left ( { a+c } \right )\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ a+b+c+d\vdots 11 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a+c\vdots 11 \\ b+d\vdots 11 \end{array} \right. $.
Các bộ số có tổng các chữ số chia hết cho $ 11 $ là $ \left ( { 2;9 } \right ),\,\,\left ( { 3;8 } \right ),\,\,\left ( { 4;7 } \right ),\,\,\left ( { 5;6 } \right ) $.
Không gian mẫu: $ n\left ( { Ω } \right )=A_{ 9 } ^{ 4 }=3024. $
Gọi $ A $ là biến cố cần tìm xác suất.
Chọn $ 1 $ bộ số sau đó đặt vào vị trí của $ a,c $ có $ 4.2! $ cách.
Chọn $ 1 $ bộ số trong ba bộ còn lại đặt vào vị trí của $ b,d $ có $ 3.2! $ cách.
Suy ra $ n\left ( { A } \right )=4.2!.3.2!=48 $.
Do đó: $ P\left ( { A } \right )=\frac { 48 } { 3024 }=\frac { 1 } { 63 } $.