Bài tập nâng cao · Bài 26
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 26
Gọi $ S $ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng $ a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } a_{ 5 } a_{ 6 } $ được tạo ra từ các chữ số $ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\,,\,6 $. Chọn ngẫu nhiên một số từ $ S $. Xác suất để chọn được số thỏa mãn điều kiện $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Do $ 0+\,1+\,2+\,3+\,4+5\,+6=21\vdots 3 $ nên để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta phải bỏ bớt 1 chữ số chia hết cho 3 trong bộ các chữ số $ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,5\,,6 $.
TH1: Bỏ 0. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 21 } { 3 }=7 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 1\,;6 } \right ),\,\,\left ( { 2\,;5 } \right ),\,\,\left ( { 3\,;\,4 } \right ) $.
Khi đó, Xếp vị trí 3 bộ có $ 3! $ cách xếp, đổi vị trí 2 chữ số ở mỗi bộ có $ \left ( { 2! } \right ) ^ { 3 } $cách.
Do đó có $ 3!.\left ( { 2! } \right ) ^ { 3 } =48 $ (số).
TH2: Bỏ 3. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 18 } { 3 }=6 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 0\,;\,6 } \right ),\,\,\left ( { 1\,;\,5 } \right ),\,\,\left ( { 2\,;\,\,4 } \right ) $.
Giả sử $ a_{ 1 } $ bất kì ( có thể bằng 0), tương tự TH1 có 48 số.
Nếu $ a_{ 1 } =0\Rightarrow a_{ 2 } =6 $, 4 vị trí còn lại có $ 2!.\left ( { 2! } \right ) ^ { 2 } =8 $.
Do đó có $ 48-8=40 $ số thỏa mãn.
TH3: Bỏ 6. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 15 } { 3 }=5 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 0;\,\,5 } \right ),\,\,\left ( { 1;\,4 } \right ),\,\,\left ( { 2,\,\,3 } \right ) $.
Tương tự TH2, ta có 40 số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $ 48+40+40=128 $ và xác suất cần tìm là:
$ P=\frac { 128 } { 6.A_{ 6 } ^{ 5 } }=\frac { 4 } { 135 } $.
TH1: Bỏ 0. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 21 } { 3 }=7 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 1\,;6 } \right ),\,\,\left ( { 2\,;5 } \right ),\,\,\left ( { 3\,;\,4 } \right ) $.
Khi đó, Xếp vị trí 3 bộ có $ 3! $ cách xếp, đổi vị trí 2 chữ số ở mỗi bộ có $ \left ( { 2! } \right ) ^ { 3 } $cách.
Do đó có $ 3!.\left ( { 2! } \right ) ^ { 3 } =48 $ (số).
TH2: Bỏ 3. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 18 } { 3 }=6 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 0\,;\,6 } \right ),\,\,\left ( { 1\,;\,5 } \right ),\,\,\left ( { 2\,;\,\,4 } \right ) $.
Giả sử $ a_{ 1 } $ bất kì ( có thể bằng 0), tương tự TH1 có 48 số.
Nếu $ a_{ 1 } =0\Rightarrow a_{ 2 } =6 $, 4 vị trí còn lại có $ 2!.\left ( { 2! } \right ) ^ { 2 } =8 $.
Do đó có $ 48-8=40 $ số thỏa mãn.
TH3: Bỏ 6. Ta có: $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } =\frac { 15 } { 3 }=5 $, suy ra các cặp số là $ \left ( { 0;\,\,5 } \right ),\,\,\left ( { 1;\,4 } \right ),\,\,\left ( { 2,\,\,3 } \right ) $.
Tương tự TH2, ta có 40 số thỏa mãn.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $ 48+40+40=128 $ và xác suất cần tìm là:
$ P=\frac { 128 } { 6.A_{ 6 } ^{ 5 } }=\frac { 4 } { 135 } $.