Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 1

Gọi $D(x_1;y_1)$ là chân đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$ và $I(x_2;y_2)$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Ta có: $AB=\sqrt{(-4-1)^2+(-5-5)^2}=5\sqrt{5}$; $AC=\sqrt{(4-1)^2+(-1-5)^2}=3\sqrt{5}$.
Theo tính chất đường phân giác ta có: $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac53\Rightarrow\overrightarrow{DB}=-\dfrac53\overrightarrow{DC}$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}-4-x_1=-\dfrac53(4-x_1)\\-5-y_1=-\dfrac53(-1-y_1)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8x_1=8\\8y_1=-20\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1=1\\y_1=-\dfrac52\end{array}\right.\Rightarrow D\left(1;-\dfrac52\right)$.
Ta có: $BD=\sqrt{(1+4)^2+\left(-\dfrac52+5\right)^2}=\dfrac{5\sqrt5}{2}$.
Ta thấy $BI$ là phân giác trong của góc $B$. Do đó, theo tính chất phân giác ta có:
$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{AB}{BD}=2\Rightarrow\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{ID}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}1-x_2=-2(1-x_2)\\5-y_2=-2\left(-\dfrac52-y_2\right)\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_2=1\\y_2=0\end{array}\right.\Rightarrow I(1;0)$.
Vậy $I(1;0)$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.
Chú ý:
$I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $BC\cdot\overrightarrow{IA}+AC\cdot\overrightarrow{IB}+AB\cdot\overrightarrow{IC}=\overrightarrow0$.