Bài tập nâng cao · Bài 2
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;1)$, $B(-3;-2)$ và $C(0;1)$. Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Khi đó $IA=IB=IC$.
Ta có: $\overrightarrow{AI}=(x-1;y-1);\overrightarrow{BI}=(x+3;y+2);\overrightarrow{CI}=(x;y-1)$.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2+(y-1)^2=(x+3)^2+(y+2)^2\\(x-1)^2+(y-1)^2=x^2+(y-1)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8x+6y=-11\\2x=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac12\\y=-\dfrac52\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\dfrac12;-\dfrac52\right)$.
Vậy $I\left(\dfrac12;-\dfrac52\right)$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Cách 2:
Lập phương trình đường trung trực $d_1$ của $AB$.
Lập phương trình đường trung trực $d_2$ của $BC$.
Khi đó $I=d_1\cap d_2$.
Cách 3:
Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Phương trình đường tròn $(ABC)$ có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
Thay tọa độ $A,B,C$ vào phương trình và giải hệ phương trình ta tìm được $a,b,c$.
Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Khi đó $IA=IB=IC$.
Ta có: $\overrightarrow{AI}=(x-1;y-1);\overrightarrow{BI}=(x+3;y+2);\overrightarrow{CI}=(x;y-1)$.
Từ đó, ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2+(y-1)^2=(x+3)^2+(y+2)^2\\(x-1)^2+(y-1)^2=x^2+(y-1)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}8x+6y=-11\\2x=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac12\\y=-\dfrac52\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\dfrac12;-\dfrac52\right)$.
Vậy $I\left(\dfrac12;-\dfrac52\right)$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Cách 2:
Lập phương trình đường trung trực $d_1$ của $AB$.
Lập phương trình đường trung trực $d_2$ của $BC$.
Khi đó $I=d_1\cap d_2$.
Cách 3:
Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$.
Phương trình đường tròn $(ABC)$ có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
Thay tọa độ $A,B,C$ vào phương trình và giải hệ phương trình ta tìm được $a,b,c$.