Bài tập nâng cao · Bài 58
DẠNG 6: THẲNG HÀNG, CỐ ĐỊNH, ĐỒNG QUI - Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ - Hai đường thẳng $AB$ và $MN$ song song khi $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{MN}$ và điểm $A$ không thuộc đường thẳng $MN$ Chú ý: Việc chọn cơ sở để biểu diễn là 2 véc- tơ cùng gốc và không cùng phương
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 58
Cho ba dây cung song song $AA_1, BB_1, CC_1$ của đường tròn $\left(O\right)$. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ nằm trên một đường thẳng.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là trực tâm của ba tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$. Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1} \\ \overrightarrow{OH_2}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1} \\ \overrightarrow{OH_3}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1} \end{array} \right.$.
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{H_1H_2}=\overrightarrow{OH_2}-\overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{AA_1} \\ \overrightarrow{H_1H_3}=\overrightarrow{OH_3}-\overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{BB_1} \end{array} \right.$.
Vì các dây cung $AA_1, BB_1, CC_1$ song song với nhau nên ba véc-tơ $\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1}$ cùng phương. Do đó hai véc-tơ $\overrightarrow{H_1H_2}$, $\overrightarrow{H_1H_3}$ cùng phương, hay ba điểm $H_1, H_2, H_3$ thẳng hàng.
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1} \\ \overrightarrow{OH_2}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1} \\ \overrightarrow{OH_3}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1} \end{array} \right.$.
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{H_1H_2}=\overrightarrow{OH_2}-\overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{AA_1} \\ \overrightarrow{H_1H_3}=\overrightarrow{OH_3}-\overrightarrow{OH_1}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{C_1C}+\overrightarrow{BB_1} \end{array} \right.$.
Vì các dây cung $AA_1, BB_1, CC_1$ song song với nhau nên ba véc-tơ $\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1}$ cùng phương. Do đó hai véc-tơ $\overrightarrow{H_1H_2}$, $\overrightarrow{H_1H_3}$ cùng phương, hay ba điểm $H_1, H_2, H_3$ thẳng hàng.