Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 17
Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $AB=a$ và chiều cao của hình chóp bằng $\frac{a}{6}$. Góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp đã cho bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Chóp $S.ABC$ đều $\Rightarrow SH\perp \left( ABC \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\ BC\perp SM\subset \left( SBC \right) \\ BC\perp AM\subset \left( ABC \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SMA}=\widehat{SMH}$
Xét $\Delta ABC$ đều có $HM=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Xét $\Delta SMH$ vuông tại $H$ có $\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}=\frac{\frac{a}{6}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SMH}=30^{\circ}$.
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy là $30^{\circ}$.
Chóp $S.ABC$ đều $\Rightarrow SH\perp \left( ABC \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\ BC\perp SM\subset \left( SBC \right) \\ BC\perp AM\subset \left( ABC \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \widehat{\left( SBC \right),\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SMA}=\widehat{SMH}$
Xét $\Delta ABC$ đều có $HM=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Xét $\Delta SMH$ vuông tại $H$ có $\tan \widehat{SMH}=\frac{SH}{HM}=\frac{\frac{a}{6}}{\frac{a}{2\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SMH}=30^{\circ}$.
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy là $30^{\circ}$.