Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 16

Kẻ $CH\perp SB$, $CK\perp SA$ như hình vẽ.
Có $\left\{ \begin{array}{l} AB\perp BC \\ AB\perp SC \end{array} \right.\Rightarrow BA\perp \left( SBC \right)\Rightarrow BA\perp CH$.
Suy ra $CH\perp \left( SAB \right)\Rightarrow CH\perp HK, CH\perp SA$.
Từ đó suy ra $SA\perp HK$.
Có $\left\{ \begin{array}{l} \left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA \\ HK\perp SA \\ CK\perp SA \end{array} \right.\Rightarrow$ góc $\widehat{\left[ \left( SAB \right), \left( SAC \right) \right]}=\widehat{\left[ HK,CK \right]}=\widehat{CKH}$ (do tam giác $CHK$ vuông tại $H$).
Có $BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=2a^{2}$;
$\frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{SC^{2}}+\frac{1}{BC^{2}}=\frac{13}{24a^{2}}\Rightarrow CH=\frac{2\sqrt{78}a}{13}$.
$\frac{1}{CK^{2}}=\frac{1}{SC^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{3}{8a^{2}}\Rightarrow CK=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$.
Xét tam giác vuông $CHK$, có $\sin \widehat{CKH}=\frac{CH}{CK}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.