Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 15

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{\left( a\sqrt{2} \right)^{2}+\left( a\sqrt{2} \right)^{2}}=2a$.
Vì $\left( ABC \right)\parallel \left( A'B'C' \right)$ nên $\widehat{\left( \left( ACC'A' \right),\left( A'B'C' \right) \right)}=\widehat{\left( \left( ACC'A' \right),\left( ABC \right) \right)}$.
Vì $AA'=A'B=A'C=2a$ nên $A'I\perp \left( ABC \right)$ với $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $I$ là trung điểm của $BC$, khi đó $AI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.2a=a$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ ta có $IM\parallel AB\Rightarrow IM\perp AC$ và $IM=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} IM\perp AC \\ A'I\perp AC \\ IM,A'I\subset \left( A'IM \right) \end{array} \right.\Rightarrow AC\perp \left( A'IM \right)$.
Lại có: $AC\subset \left( ABC \right)$ nên $\left( ABC \right)\perp \left( A'IM \right)$.
$AC\subset \left( ACC'A' \right)$ nên $\left( ACC'A' \right)\perp \left( A'IM \right)$.
Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l} \left( A'IM \right)\perp \left( ABC \right);\left( A'IM \right)\perp \left( ACC'A' \right) \\ \left( A'IM \right)\cap \left( ABC \right)=IM \\ \left( A'IM \right)\cap \left( ACC'A' \right)=A'M \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( ABC \right),\left( ACC'A' \right) \right)}=\widehat{\left( MI,A'M \right)}$.
Vì tam giác $A'MI$ vuông tại $I$ nên $\widehat{IMA'}<90^{\circ}$ do đó $\widehat{\left( MI,A'M \right)}=\widehat{A'MI}$.
$A'I=\sqrt{A'A^{2}-AI^{2}}=\sqrt{\left( 2a \right)^{2}-a^{2}}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $A'MI$ vuông tại $I$ có $\tan \widehat{A'MI}=\frac{A'I}{MI}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.