Bài tự luận · Bài 16
Dạng 1. Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác
Bài tự luận Công thức lượng giác · Bài 16
(KNTT11) Cho $\cos2x=-\frac{4}{5}$, với $\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$.
Tính $\sin x,\cos x,\sin\left( x+\frac{\pi}{3} \right),\cos\left( 2x-\frac{\pi}{4} \right)$
Tính $\sin x,\cos x,\sin\left( x+\frac{\pi}{3} \right),\cos\left( 2x-\frac{\pi}{4} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Vì $\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$ nên $\sin x>0,\cos x>0$. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có
$\begin{array}{l} \sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}=\frac{9}{10}\Rightarrow \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}. \\ \cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}. \end{array}$
Theo công thức cộng, ta có
$\sin\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}$.
$\cos\left( 2x-\frac{\pi}{4} \right)=\cos2x\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\sin2x=-\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$
$\begin{array}{l} \sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}=\frac{9}{10}\Rightarrow \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}. \\ \cos^{2}x=\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}. \end{array}$
Theo công thức cộng, ta có
$\sin\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}$.
$\cos\left( 2x-\frac{\pi}{4} \right)=\cos2x\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\sin2x=-\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$