Doanh thu hằng tháng $R$ của một sản phẩm mới trong một khoảng thời gian dự kiến tuân theo hàm logistic:
$R=R(t)=\frac { 20000 } { 1+50e ^{-t} }-\frac{20000}{51},t\geq 0,$ trong đó thời gian $t$ được tính bằng tháng.
a) Tìm tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng $R ^{′} (t)$. Có nhận xét gì về doanh thu bán hàng hằng tháng?
b) Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng tăng khi nào và giảm khi nào?
c) Khi nào tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng đạt mức tối đa?
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số $R(t)$ là $ [0;+\infty )$.
Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng là $R ^{′} (t)=\frac { -20000\cdot \left ( { -50e ^{-t} } \right ) } { \left ( { 1+50e ^{-t} } \right ) ^{2} }=\frac { 1000000e ^{-t} } { \left ( { 1+50e ^{-t} } \right ) ^{2} }$.
Ta có: $R ^{′} (t)>0,\forall t\in [0;+\infty )$. Do đó $ R(t)$ là hàm số đồng biến trên nửa khoảng $ [0;+\infty )$, tức là doanh thu bán hàng hằng tháng luôn tăng theo thời gian.
b) Tập xác định của hàm số $R ^{′} (t)$ là $ [0;+\infty )$.
Ta có:
$\begin{array}{ll} R ^{′′} (t) & =\frac { -1000000e ^{-t} \left ( { 1+50e ^{-t} } \right ) ^{2} -1000000e ^{-t} \cdot 2\left ( { 1+50e ^{-t} } \right )\left ( { -50e ^{-t} } \right ) } { \left ( { 1+50e ^{-t} } \right ) ^{4} } \\ & =\frac { 1000000e ^{-t} \left ( { 50e ^{-t} -1 } \right ) } { \left ( { 1+50e ^{-t} } \right ) ^{3} }. \\ \end{array}$
Ta có: $R ^{′′} (t)=0\Leftrightarrow t=\ln 50$.
Lập bảng biến thiên:
Vậy tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng tăng trong khoảng $(0;\ln 50)$ và giảm trong khoảng $ (\ln 50;+\infty )$.
c) Tốc độ thay đổi doanh thu bán hàng đạt mức tối đa tại thời điểm
$t=\ln 50\approx 4{ \rm{ } }{ \rm{ t } }{ \rm{ h } }{ \rm{ á } }{ \rm{ n } }{ \rm{ g } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } }$
