Cho hàm số $ y=\frac { 2x-3 } { x-2 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Gọi $ M $ là một điểm thuộc đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ có hoành độ lớn hơn $ 2 $ sao cho tiếp tuyến tại $ M $ của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ cắt hai đường tiệm cận của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ tại hai điểm $ A $, $ B $ thỏa mãn $ AB $ ngắn nhất. Khi đó tổng hoành độ và tung độ của điểm $ M $ bằng

Tập xác định: $ D=\mathbb{R}\left\{2\right\} $. $ y'=-\frac { 1 } { \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } } $. Đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ có đường tiệm cận ngang $ y=2 $, tiệm cận đứng $ x=2 $. Lấy điểm $ M\left ( { x_{ 0 } \,;\,y_{ 0 } } \right )\in \left ( { C } \right ) $ suy ra $ M\left ( { x_{ 0 } \,;\,2+\frac { 1 } { x_{ 0 } -2 } } \right ) $. Tiếp tuyến $ \left ( { d } \right ) $ tại $ M $ của $ \left ( { C } \right ) $ có phương trình: $ y=-\frac { 1 } { \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } }\left ( { x-x_{ 0 } } \right )+2+\frac { 1 } { x_{ 0 } -2 } $. Giao điểm của $ \left ( { d } \right ) $ với tiệm cận đứng là $ A\left ( { 2\,;\,2+\frac { 2 } { x_{ 0 } -2 } } \right ) $. Giao điểm của $ \left ( { d } \right ) $ với tiệm cận ngang là $ B\left ( { 2x_{ 0 } -2\,;\,2 } \right ) $. Ta có: $ AB ^ { 2 } =4\left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 4 } { \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } }=4\left[ \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } +\frac { 1 } { \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } } \right]\geq 8. $ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } =\frac { 1 } { \left ( { x_{ 0 } -2 } \right ) ^ { 2 } }⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ 0 } =1 \\ x_{ 0 } =3 \end{array} \right. $. Do điểm $ M $ có hoành độ lớn hơn $ 2 $ nên ta có $ M\left ( { 3\,;\,3 } \right ) $. Khi đó tổng hoành độ và tung độ của điểm $ M $ tìm được là: $ 3+3=6 $.