Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 27
(CD10) Hình mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có toạ độ $(-2;1)$ trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).
a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng $3$ km.
b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có toạ độ $(-1;3)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm không? Giải thích.
c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí $B$ có toạ độ $(-3;4)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xem lời giải
Lời giải
a) Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là: $[x-(-2)]^2+(y-1)^2=3^2\Leftrightarrow(x+2)^2+(y-1)^2=9$.
b) Khoảng cách từ tâm $I(-2;1)$ đến điểm $A(-1;3)$ là: $IA=\sqrt{[-1-(-2)]^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}$ km.
Vì $IA<3$ km nên điểm $A$ nằm trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, suy ra người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm.
c) Khoảng cách từ tâm $I(-2;1)$ đến điểm $B(-3;4)$ là: $IB=\sqrt{[-3-(-2)]^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}$ km.
Vì $IB>3$ km nên điểm $B$ nằm ngoài đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.
Xét $M$ là điểm bất kì thuộc vùng phủ sóng, khi đó $M$ nằm trong hoặc nằm trên đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng nên $IM\leq3$ km. Khoảng cách tính theo đường chim bay từ người ở vị trí $B$ đến vùng phủ sóng là $BM$.
Ta có: $BM\geq IB-IM\geq\sqrt{10}-3$ (Vì $IM\leq3$). Suy ra $BM$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{10}-3$ km khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $IB$ với đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.
Vậy khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí $B$ di chuyển được tới vùng phủ sóng tính theo đường chim bay là $\sqrt{10}-3\approx0{,}2$ km.
