Bài tự luận · Bài 26
Dạng 4. Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn
Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 26
(KNTT10) Cho điểm $A(4;2)$ và hai đường thẳng $d:3x+4y-20=0,d':2x+y=0$.
a) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$.
b) Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm thuộc đường thẳng $d'$ và tiếp xúc với $d$ tại điểm $A$.
a) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$.
b) Viết phương trình đường tròn $(C)$ có tâm thuộc đường thẳng $d'$ và tiếp xúc với $d$ tại điểm $A$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{u_\Delta}=\overrightarrow{n_d}=(3;4)\to\overrightarrow{n_\Delta}=(4;-3)$. Phương trình của $\Delta$ là $4(x-4)-3(y-2)=0\Leftrightarrow 4x-3y-10=0$.
b) Gọi I là tâm của đường tròn (C). Vì $d$ tiếp xúc với $(C)$ tại điểm $A$ nên ta có $IA\perp d$, do đó I thuộc $\Delta$. Mặt khác, $I$ thuộc đường thẳng $d'$. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x-3y-10=0\\2x+y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\end{array}\right.\Rightarrow I(1;-2)$.
Bán kính của $(C)$ bằng $R=IA=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=5$.
Vậy phương trình của $(C)$ là $(x-1)^2+(y+2)^2=25$.
Lưu ý
- Khi viết phương trình đường tròn, thông thường ta nên tìm tâm của đường tròn trước, sau đó tìm bán kính của nó.
- Ở câu b, sau khi tìm được tâm I, ta có thể tính bán kính $R$ như sau $R=d(I,d)=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)-20|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$.
- Tâm I, bán kính $R$ có thể tìm dựa theo hệ điều kiện sau đây $\left\{\begin{array}{l}I\in d'\\d(I,d)=R=IA.\end{array}\right.$
b) Gọi I là tâm của đường tròn (C). Vì $d$ tiếp xúc với $(C)$ tại điểm $A$ nên ta có $IA\perp d$, do đó I thuộc $\Delta$. Mặt khác, $I$ thuộc đường thẳng $d'$. Suy ra toạ độ của I thoả mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x-3y-10=0\\2x+y=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\end{array}\right.\Rightarrow I(1;-2)$.
Bán kính của $(C)$ bằng $R=IA=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2}=5$.
Vậy phương trình của $(C)$ là $(x-1)^2+(y+2)^2=25$.
Lưu ý
- Khi viết phương trình đường tròn, thông thường ta nên tìm tâm của đường tròn trước, sau đó tìm bán kính của nó.
- Ở câu b, sau khi tìm được tâm I, ta có thể tính bán kính $R$ như sau $R=d(I,d)=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)-20|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$.
- Tâm I, bán kính $R$ có thể tìm dựa theo hệ điều kiện sau đây $\left\{\begin{array}{l}I\in d'\\d(I,d)=R=IA.\end{array}\right.$