Bài tập nâng cao · Bài 29
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG Sử dụng định nghĩa $ \overset\rightarrow { a }.\overset\rightarrow { b }=\left | { \overset\rightarrow { a } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { b } } \right |cos\left ( { \overset\rightarrow { a },\overset\rightarrow { b } } \right ) $ Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm, tính chất hình bình hành… Tính chất giao hoán và phân phối về tích vô hướng. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $ AB ^ { 2 } =\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } $
Bài tập nâng cao Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 29
Cho tam giác $ABC$, biết $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$, các đường trung tuyến tương ứng $AA',BB',CC'$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng với mọi $M$ bất kì, ta có $2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MC}=3MG^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{6}$.
Xem lời giải
Lời giải
$VT=2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})\cdot(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA'})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})\cdot(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})$
$=2(\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GA'})+\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$
$=3\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot(2\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$.
Vì $G$ là trọng tâm nên $2\overrightarrow{GA'}=-\overrightarrow{GA}$.
Vậy $VT=3\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})-\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$
$=3MG^2-GA^2+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$.
Mà:
$\overrightarrow{GA}^2=(\dfrac23\overrightarrow{AA'})^2=\dfrac49AA'^2=\dfrac49(\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4})=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$.
$\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=\dfrac{GB^2+GC^2-BC^2}{2}=\dfrac{\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}-a^2}{2}$
$=\dfrac{b^2+c^2-5a^2}{18}$.
$\Rightarrow VT=3MG^2-\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}+\dfrac{b^2+c^2-5a^2}{18}=3MG^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{6}$.
$=2(\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GA'})+\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$
$=3\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot(2\overrightarrow{GA'}+2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$.
Vì $G$ là trọng tâm nên $2\overrightarrow{GA'}=-\overrightarrow{GA}$.
Vậy $VT=3\overrightarrow{MG}^2+\overrightarrow{MG}\cdot(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})-\overrightarrow{GA}^2+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$
$=3MG^2-GA^2+\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}$.
Mà:
$\overrightarrow{GA}^2=(\dfrac23\overrightarrow{AA'})^2=\dfrac49AA'^2=\dfrac49(\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4})=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$.
$\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GC}=\dfrac{GB^2+GC^2-BC^2}{2}=\dfrac{\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9}+\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}-a^2}{2}$
$=\dfrac{b^2+c^2-5a^2}{18}$.
$\Rightarrow VT=3MG^2-\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}+\dfrac{b^2+c^2-5a^2}{18}=3MG^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{6}$.