Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 16
Cho $\tan\alpha-\cot\alpha=3$. Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ $A=\tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha$
b/ $B=\tan\alpha+\cot\alpha$
c/ $C=\tan^{4}\alpha-\cot^{4}\alpha$
a/ $A=\tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha$
b/ $B=\tan\alpha+\cot\alpha$
c/ $C=\tan^{4}\alpha-\cot^{4}\alpha$
Xem lời giải
Lời giải
a/ $A=\tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha\Leftrightarrow A=\left( \tan\alpha-\cot\alpha \right)^{2}+2\tan\alpha.\cot\alpha\Leftrightarrow A=3^{2}+2\Leftrightarrow A=11$.
b/ $B=\tan\alpha+\cot\alpha\Rightarrow B^{2}=\left( \tan\alpha+\cot\alpha \right)^{2}\Leftrightarrow B^{2}=\left( \tan\alpha-\cot\alpha \right)^{2}+4\tan\alpha.\cot\alpha$
$\Leftrightarrow B^{2}=3^{2}+4\Leftrightarrow B^{2}=13\Leftrightarrow B=\pm\sqrt{13}$.
c/ $C=\tan^{4}\alpha-\cot^{4}\alpha\Leftrightarrow C=\left( \tan^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha \right)\left( \tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha \right)$
$\Leftrightarrow C=\left( \tan\alpha-\cot\alpha \right)\left( \tan\alpha+\cot\alpha \right)\left( \tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha \right)$
$\Leftrightarrow C=\pm33\sqrt{13}$ (theo giả thiết và kết quả của câu a, b ở trên).
b/ $B=\tan\alpha+\cot\alpha\Rightarrow B^{2}=\left( \tan\alpha+\cot\alpha \right)^{2}\Leftrightarrow B^{2}=\left( \tan\alpha-\cot\alpha \right)^{2}+4\tan\alpha.\cot\alpha$
$\Leftrightarrow B^{2}=3^{2}+4\Leftrightarrow B^{2}=13\Leftrightarrow B=\pm\sqrt{13}$.
c/ $C=\tan^{4}\alpha-\cot^{4}\alpha\Leftrightarrow C=\left( \tan^{2}\alpha-\cot^{2}\alpha \right)\left( \tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha \right)$
$\Leftrightarrow C=\left( \tan\alpha-\cot\alpha \right)\left( \tan\alpha+\cot\alpha \right)\left( \tan^{2}\alpha+\cot^{2}\alpha \right)$
$\Leftrightarrow C=\pm33\sqrt{13}$ (theo giả thiết và kết quả của câu a, b ở trên).