Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 17
a) Cho $3\sin^{4}x+\cos^{4}x=\frac{3}{4}$. Tính $A=\sin^{4}x+3\cos^{4}x$.
b) Cho $3\sin^{4}x-\cos^{4}x=\frac{1}{2}$. Tính $C=\sin^{4}x+3\cos^{4}x$.
c) Cho $4\sin^{4}x+3\cos^{4}x=\frac{7}{4}$. Tính $C=3\sin^{4}x+4\cos^{4}x$.
b) Cho $3\sin^{4}x-\cos^{4}x=\frac{1}{2}$. Tính $C=\sin^{4}x+3\cos^{4}x$.
c) Cho $4\sin^{4}x+3\cos^{4}x=\frac{7}{4}$. Tính $C=3\sin^{4}x+4\cos^{4}x$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $3\sin^{4}x+\cos^{4}x=\frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow 3\sin^{4}x+(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 4\sin^{4}x-2\sin^{2}x+\frac{1}{4}=0$ $\Leftrightarrow \sin^{2}x=\frac{1}{4}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{4}$ thì $\cos^{2}x=\frac{3}{4}$.
Vậy $A=\frac{1}{16}+3.\frac{9}{16}=\frac{7}{4}$.
b) Ta có $3\sin^{4}x-\cos^{4}x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 3\sin^{4}x-(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2\sin^{4}x+2\sin^{2}x-\frac{3}{2}=0$ $\Leftrightarrow \sin^{2}x=\frac{1}{2}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{2}$ thì $\cos^{2}x=\frac{1}{2}$.
Vậy $C=\frac{1}{4}+3.\frac{1}{4}=1$.
c) Ta có $4\sin^{4}x+3\cos^{4}x=\frac{7}{4}$
$\Leftrightarrow 4\sin^{4}x+3(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{7}{4}$ $\Leftrightarrow 7\sin^{4}x-6\sin^{2}x+\frac{5}{4}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin^{2}x=\frac{1}{2} \\ \sin^{2}x=\frac{5}{14} \end{array} \right.$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{2}$ thì $\cos^{2}x=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow C=3.\frac{1}{4}+4.\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{5}{14}$ thì $\cos^{2}x=\frac{9}{14}$ $\Rightarrow C=3.\left( \frac{5}{14} \right)^{2}+4.\left( \frac{9}{14} \right)^{2}=\frac{57}{28}$.
$\Leftrightarrow 3\sin^{4}x+(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 4\sin^{4}x-2\sin^{2}x+\frac{1}{4}=0$ $\Leftrightarrow \sin^{2}x=\frac{1}{4}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{4}$ thì $\cos^{2}x=\frac{3}{4}$.
Vậy $A=\frac{1}{16}+3.\frac{9}{16}=\frac{7}{4}$.
b) Ta có $3\sin^{4}x-\cos^{4}x=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 3\sin^{4}x-(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2\sin^{4}x+2\sin^{2}x-\frac{3}{2}=0$ $\Leftrightarrow \sin^{2}x=\frac{1}{2}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{2}$ thì $\cos^{2}x=\frac{1}{2}$.
Vậy $C=\frac{1}{4}+3.\frac{1}{4}=1$.
c) Ta có $4\sin^{4}x+3\cos^{4}x=\frac{7}{4}$
$\Leftrightarrow 4\sin^{4}x+3(1-\sin^{2}x)^{2}=\frac{7}{4}$ $\Leftrightarrow 7\sin^{4}x-6\sin^{2}x+\frac{5}{4}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin^{2}x=\frac{1}{2} \\ \sin^{2}x=\frac{5}{14} \end{array} \right.$.
Với $\sin^{2}x=\frac{1}{2}$ thì $\cos^{2}x=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow C=3.\frac{1}{4}+4.\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$.
Với $\sin^{2}x=\frac{5}{14}$ thì $\cos^{2}x=\frac{9}{14}$ $\Rightarrow C=3.\left( \frac{5}{14} \right)^{2}+4.\left( \frac{9}{14} \right)^{2}=\frac{57}{28}$.