Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 18
a) Cho $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$. Tính $\sin x,\,\,\cos x,\,\tan x,\,\cot x.$
b) Cho $\tan x+\cot x=4.$ Tính $\sin x,\,\,\cos x,\,\tan x,\,\cot x.$
b) Cho $\tan x+\cot x=4.$ Tính $\sin x,\,\,\cos x,\,\tan x,\,\cot x.$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{5}-\cos x.$ Thay vào phương trình $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ ta được:
$\begin{array}{l} \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \\ \Leftrightarrow \left( \frac{1}{5}-\cos x \right)^{2}+\cos^{2}x=1 \\ \Leftrightarrow 2\cos^{2}x-\frac{2}{5}\cos x-\frac{24}{25}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{4}{5} \\ \cos x=\frac{-3}{5} \end{array} \right. \end{array}$
Với $\cos x=\frac{4}{5}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=\frac{-3}{5}.$
$\begin{array}{l} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x\,}=\frac{-3}{4} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{-4}{3} \end{array}$.
Với $\cos x=-\frac{3}{5}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.$
$\begin{array}{l} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x\,}=\frac{-4}{3} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{-3}{4} \end{array}$.
b)
$\begin{array}{l} \tan x+\cot x=4 \\ \Leftrightarrow \tan x+\frac{1}{\tan x}=4 \\ \Leftrightarrow \tan^{2}x-4\tan x+1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=2+\sqrt{3} \\ \tan x=2-\sqrt{3} \end{array} \right. \end{array}$.
Với $\tan x=2+\sqrt{3}$ ta có :
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=2-\sqrt{3}$
$\begin{array}{l} \tan^{2}x+1=\frac{1}{\cos^{2}x}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \cos x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\,x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \sin x=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{array} \right. \end{array}$.
Với $\tan x=2-\sqrt{3}$ ta có :
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=2+\sqrt{3}$.
$\begin{array}{l} \tan^{2}x+1=\frac{1}{\cos^{2}x}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \cos x=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\,x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \sin x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{array} \right. \end{array}$.
$\begin{array}{l} \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \\ \Leftrightarrow \left( \frac{1}{5}-\cos x \right)^{2}+\cos^{2}x=1 \\ \Leftrightarrow 2\cos^{2}x-\frac{2}{5}\cos x-\frac{24}{25}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{4}{5} \\ \cos x=\frac{-3}{5} \end{array} \right. \end{array}$
Với $\cos x=\frac{4}{5}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{5}-\frac{4}{5}=\frac{-3}{5}.$
$\begin{array}{l} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x\,}=\frac{-3}{4} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{-4}{3} \end{array}$.
Với $\cos x=-\frac{3}{5}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.$
$\begin{array}{l} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x\,}=\frac{-4}{3} \\ \cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{-3}{4} \end{array}$.
b)
$\begin{array}{l} \tan x+\cot x=4 \\ \Leftrightarrow \tan x+\frac{1}{\tan x}=4 \\ \Leftrightarrow \tan^{2}x-4\tan x+1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=2+\sqrt{3} \\ \tan x=2-\sqrt{3} \end{array} \right. \end{array}$.
Với $\tan x=2+\sqrt{3}$ ta có :
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=2-\sqrt{3}$
$\begin{array}{l} \tan^{2}x+1=\frac{1}{\cos^{2}x}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \cos x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\,x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \sin x=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{array} \right. \end{array}$.
Với $\tan x=2-\sqrt{3}$ ta có :
$\cot x=\frac{1}{\tan x}=2+\sqrt{3}$.
$\begin{array}{l} \tan^{2}x+1=\frac{1}{\cos^{2}x}\Leftrightarrow \cos^{2}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\ \cos x=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\,x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\ \sin x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{array} \right. \end{array}$.