Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 19
Chứng minh các đẳng thức:
a) $\frac{\sin^{3}a+\cos^{3}a}{\sin a+\cos a}=1-\sin a\cos a$.
b) $\frac{\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}$.
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a-\sin^{6}a-\cos^{6}a=\sin^{2}a.\cos^{2}a$.
a) $\frac{\sin^{3}a+\cos^{3}a}{\sin a+\cos a}=1-\sin a\cos a$.
b) $\frac{\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}$.
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a-\sin^{6}a-\cos^{6}a=\sin^{2}a.\cos^{2}a$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\frac{\sin^{3}a+\cos^{3}a}{\sin a+\cos a}=\frac{\left( \sin a+\cos a \right)\left( \sin^{2}a-\sin a\cos a+\cos^{2}a \right)}{\sin a+\cos a}$ $=\sin^{2}a-\sin a\cos a+\cos^{2}a$ $=1-\sin a\cos a$.
b) $\frac{\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{\left( \sin a-\cos a \right)\left( \sin a+\cos a \right)}{\left( \sin a+\cos a \right)^{2}}$ $=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}$ $=\frac{\frac{\sin a-\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a+\cos a}{\cos a}}$ $=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}$.
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left( \sin^{6}a+\cos^{6}a \right)$ $=\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left[ \left( \sin^{2}a \right)^{3}+\left( \cos^{2}a \right)^{3} \right]$ $=\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left( \sin^{4}a-\sin^{2}a\cos^{2}a+\cos^{4}a \right)$ $=\sin^{2}a\cos^{2}a$.
b) $\frac{\sin^{2}a-\cos^{2}a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{\left( \sin a-\cos a \right)\left( \sin a+\cos a \right)}{\left( \sin a+\cos a \right)^{2}}$ $=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}$ $=\frac{\frac{\sin a-\cos a}{\cos a}}{\frac{\sin a+\cos a}{\cos a}}$ $=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}$.
c) $\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left( \sin^{6}a+\cos^{6}a \right)$ $=\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left[ \left( \sin^{2}a \right)^{3}+\left( \cos^{2}a \right)^{3} \right]$ $=\sin^{4}a+\cos^{4}a-\left( \sin^{4}a-\sin^{2}a\cos^{2}a+\cos^{4}a \right)$ $=\sin^{2}a\cos^{2}a$.