Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 21
Giả sử biểu thức sau đây có nghĩa. Chứng minh rằng:
$\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x$.
$\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$VT=\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{4}x.\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\cos^{4}x.\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{2}x\cos^{2}x+\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{2}x\left( \cos^{2}x+\sin^{2}x \right)$
$=\sin^{2}x=VP$.
Vậy $\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x$.
$VT=\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{4}x.\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+\cos^{4}x.\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{2}x\cos^{2}x+\cos^{2}x\sin^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x$
$=\sin^{2}x\left( \cos^{2}x+\sin^{2}x \right)$
$=\sin^{2}x=VP$.
Vậy $\sin^{4}x\cot^{2}x+\cos^{4}x\tan^{2}x+\sin^{4}x-\sin^{2}x\cos^{2}x=\sin^{2}x$.