Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Giá trị lượng giác của góc lượng giác · Bài 22
Cho $0 < x < \frac{\pi}{2}$. Chứng minh rằng:
$\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}=\cos x$.
$\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}=\cos x$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$VT=\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}$
$=\frac{1+1-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+2+\tan^{2}x+1}$
$=\frac{1+2\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}}$
$=\frac{1}{\cos x}+2\cos x-\sqrt{\left( \cos x+\frac{1}{\cos x} \right)^{2}}$
$=\frac{1}{\cos x}+2\cos x-\left( \cos x+\frac{1}{\cos x} \right)$ vì $0 < x < \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos\,x>0$
$=\cos x=VP$.
Vậy $\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}=\cos x$ với $0 < x < \frac{\pi}{2}$
$VT=\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}$
$=\frac{1+1-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+2+\tan^{2}x+1}$
$=\frac{1+2\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}}$
$=\frac{1}{\cos x}+2\cos x-\sqrt{\left( \cos x+\frac{1}{\cos x} \right)^{2}}$
$=\frac{1}{\cos x}+2\cos x-\left( \cos x+\frac{1}{\cos x} \right)$ vì $0 < x < \frac{\pi}{2}\Rightarrow \cos\,x>0$
$=\cos x=VP$.
Vậy $\frac{2-\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}-\sqrt{\cos^{2}x+\tan^{2}x+3}=\cos x$ với $0 < x < \frac{\pi}{2}$