Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 14

Cũng như trong mặt phẳng toạ độ, trong không gian ta có thể đưa vào hệ trục tọa độ $Oxyz$. Khi đó, mỗi điểm $M$ trong không gian có toạ độ là bộ ba số $\left( x_0;y_0;z_0 \right)$ và được kí hiệu là $M\left( x_0;y_0;z_0 \right)$ (H2).

Khoảng cách giữa hai điểm $P\left( x_1;y_1;z_1 \right)$, $Q\left( x_2;y_2;z_2 \right)$ trong không gian được tính như sau:
$PQ=\sqrt{\left( x_2-x_1 \right)^{2}+\left( y_2-y_1 \right)^{2}+\left( z_2-z_1 \right)^{2}}$.
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS (Global Positioning System Hệ thống định vị toàn cầu) trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm trong không gian đó sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước.
Chẳng hạn, ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho bốn vệ tinh $A(0;4;5),B(-3;-1;3),C(-2;8;9)$, $D(-7;2;-3)$ và trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận được tín hiệu phản hồi, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm toạ độ. Biết các khoảng cách đó là $MA=3,MB=5$, $MC=9,MD=10$.

a) Chứng minh toạ độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}=9 \quad (1) \\ (x+3)^{2}+(y+1)^{2}+(z-3)^{2}=25 \quad (2) \\ (x+2)^{2}+(y-8)^{2}+(z-9)^{2}=81 \quad (3) \\ (x+7)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=100 \quad (4) \end{array} \right.$
b) Viết hệ phương trình có được bằng cách trừ theo từng vế của mỗi phương trình (2), (3), (4) cho phương trình (1).
c) Tìm toạ độ của điểm $M$.