Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 23
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện đúng 2 lần không đứng cạnh nhau, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Xem lời giải
Lời giải
TH1:
Lập một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 1:
Gọi số cần lập là $\overline{abcde}$.
Chọn một chữ số vào vị trí của $a$ có 8 cách ($a\in\{2;3;4;5;6;7;8;9\}$).
Sau đó, chọn 4 chữ số còn lại có $A_8^4$ cách ($b,c,d,e\in\{0;2;3;4;5;6;7;8;9\}\setminus\{a\}$).
Vậy có: $8\cdot A_8^4=13440$ (số).
Với mỗi số lập được có 6 chỗ có thể chèn chữ số 1 nên có $C_6^2$ cách chèn chữ số 1.
Có $13440\cdot C_6^2=201600$.
TH2:
Lập số tự nhiên có các chữ số khác nhau có dạng $\overline{10bcde}$ có $A_8^4=1680$ (số).
Chèn thêm chữ số 1 có 5 cách.
Vậy có: $5\cdot1680=8400$ (số).
Kết luận: Có $201600+8400=210000$ (số).
Lập một số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không có mặt chữ số 1:
Gọi số cần lập là $\overline{abcde}$.
Chọn một chữ số vào vị trí của $a$ có 8 cách ($a\in\{2;3;4;5;6;7;8;9\}$).
Sau đó, chọn 4 chữ số còn lại có $A_8^4$ cách ($b,c,d,e\in\{0;2;3;4;5;6;7;8;9\}\setminus\{a\}$).
Vậy có: $8\cdot A_8^4=13440$ (số).
Với mỗi số lập được có 6 chỗ có thể chèn chữ số 1 nên có $C_6^2$ cách chèn chữ số 1.
Có $13440\cdot C_6^2=201600$.
TH2:
Lập số tự nhiên có các chữ số khác nhau có dạng $\overline{10bcde}$ có $A_8^4=1680$ (số).
Chèn thêm chữ số 1 có 5 cách.
Vậy có: $5\cdot1680=8400$ (số).
Kết luận: Có $201600+8400=210000$ (số).