Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 24
Có bao nhiêu cách trao 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng thể loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh, mà mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách)?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số học sinh nhận phần thưởng 2 quyển sách Toán, Lý là $x$.
Số học sinh nhận phần thưởng 2 quyển sách Toán, Hóa là $y$.
Số học sinh nhận phần thưởng 2 quyển sách Lý, Hóa là $z$.
Theo đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}x+y=7\\x+z=6\\y+z=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=3\\z=2\end{array}\right.$.
Để trao thưởng cho 9 học sinh thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tặng 7 quyển Toán cho 7 trong 9 học sinh có $C_9^7$ cách.
Bước 2: Tặng 4 quyển Lý cho 4 trong 7 học sinh đã được tặng Toán có $C_7^4$ cách.
Bước 3: Tặng 3 quyển Hóa cho 3 học sinh đã được tặng Toán còn lại có 1 cách.
Bước 4: Tặng cho 2 học sinh còn lại (chưa được tặng quyển nào) mỗi học sinh 1 quyển Lý và 1 quyển Hóa có 1 cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là: $C_9^7\cdot C_7^4\cdot1\cdot1=1260$.
Số học sinh nhận phần thưởng 2 quyển sách Toán, Hóa là $y$.
Số học sinh nhận phần thưởng 2 quyển sách Lý, Hóa là $z$.
Theo đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}x+y=7\\x+z=6\\y+z=5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=3\\z=2\end{array}\right.$.
Để trao thưởng cho 9 học sinh thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tặng 7 quyển Toán cho 7 trong 9 học sinh có $C_9^7$ cách.
Bước 2: Tặng 4 quyển Lý cho 4 trong 7 học sinh đã được tặng Toán có $C_7^4$ cách.
Bước 3: Tặng 3 quyển Hóa cho 3 học sinh đã được tặng Toán còn lại có 1 cách.
Bước 4: Tặng cho 2 học sinh còn lại (chưa được tặng quyển nào) mỗi học sinh 1 quyển Lý và 1 quyển Hóa có 1 cách.
Vậy số cách trao phần thưởng là: $C_9^7\cdot C_7^4\cdot1\cdot1=1260$.