Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 26
Một hộp đựng 20 viên bi được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách lấy để kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
Xem lời giải
Lời giải
20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20, chia làm ba phần:
Phần 1 gồm các viên bi mang số chia hết cho 3, có 6 viên.
Phần 2 gồm các viên bi mang số chia cho 3 dư 1, có 7 viên.
Phần 3 gồm các viên bi mang số chia cho 3 dư 2, có 7 viên.
Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại, được một số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: lấy được 3 viên bi ở phần 1, có $C_6^3$ cách.
Trường hợp 2: lấy được 3 viên bi ở phần 2, có $C_7^3$ cách.
Trường hợp 3: lấy được 3 viên bi ở phần 3, có $C_7^3$ cách.
Trường hợp 4: lấy được 1 viên bi ở phần 1, 1 viên bi ở phần 2 và 1 viên bi ở phần 3, có $C_6^1\cdot C_7^1\cdot C_7^1$ cách.
Vậy có $C_6^3+C_7^3+C_7^3+C_6^1\cdot C_7^1\cdot C_7^1=384$ cách lấy được ba viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phần 1 gồm các viên bi mang số chia hết cho 3, có 6 viên.
Phần 2 gồm các viên bi mang số chia cho 3 dư 1, có 7 viên.
Phần 3 gồm các viên bi mang số chia cho 3 dư 2, có 7 viên.
Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại, được một số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: lấy được 3 viên bi ở phần 1, có $C_6^3$ cách.
Trường hợp 2: lấy được 3 viên bi ở phần 2, có $C_7^3$ cách.
Trường hợp 3: lấy được 3 viên bi ở phần 3, có $C_7^3$ cách.
Trường hợp 4: lấy được 1 viên bi ở phần 1, 1 viên bi ở phần 2 và 1 viên bi ở phần 3, có $C_6^1\cdot C_7^1\cdot C_7^1$ cách.
Vậy có $C_6^3+C_7^3+C_7^3+C_6^1\cdot C_7^1\cdot C_7^1=384$ cách lấy được ba viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán.