Bài tự luận · Bài 22
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 22
(KNTT11) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y=2+3\left| \cos x \right|$
b) $y=2\sqrt{\sin x}+1$;
c) $y=3\cos^{2}x+4\cos 2x$;
d) $y=\sin x+\cos x$.
a) $y=2+3\left| \cos x \right|$
b) $y=2\sqrt{\sin x}+1$;
c) $y=3\cos^{2}x+4\cos 2x$;
d) $y=\sin x+\cos x$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $0\leq \left| \cos x \right|\leq 1$ nên $0\leq 3\left| \cos x \right|\leq 3$, do đó $2\leq 2+3\left| \cos x \right|\leq 5$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $\left| \cos x \right|=1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$
b) Điều kiện $\sin x\geq 0$. Vì $0\leq \sqrt{\sin x}\leq 1$ nên $0\leq 2\sqrt{\sin x}\leq 2$, do đó $1\leq 2\sqrt{\sin x}+1\leq 3$ với mọi $x$ thoả mãn $0\leq \sin x\leq 1$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\sin x=1$ hay
$x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\sin x=0$ hay $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có $y=3\cos^{2}x+4\cos 2x=3\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+4\cos 2x=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x$.
Vì $-1\leq \cos 2x\leq 1$ nên $-\frac{11}{2}\leq \frac{11}{2}\cos 2x\leq \frac{11}{2}$,
do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2}\leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x\leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4, đạt được khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$
d) Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)$.
Vì $-1\leq \sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)\leq 1$ nên $-\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)\leq \sqrt{2}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=1$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-1$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$ hay $x=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $\left| \cos x \right|=1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi $\cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$
b) Điều kiện $\sin x\geq 0$. Vì $0\leq \sqrt{\sin x}\leq 1$ nên $0\leq 2\sqrt{\sin x}\leq 2$, do đó $1\leq 2\sqrt{\sin x}+1\leq 3$ với mọi $x$ thoả mãn $0\leq \sin x\leq 1$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\sin x=1$ hay
$x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\sin x=0$ hay $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có $y=3\cos^{2}x+4\cos 2x=3\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+4\cos 2x=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x$.
Vì $-1\leq \cos 2x\leq 1$ nên $-\frac{11}{2}\leq \frac{11}{2}\cos 2x\leq \frac{11}{2}$,
do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2}\leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x\leq \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi $\cos 2x=1\Leftrightarrow 2x=k2\pi \Leftrightarrow x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$
và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4, đạt được khi $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$
d) Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)$.
Vì $-1\leq \sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)\leq 1$ nên $-\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)\leq \sqrt{2}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=1$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-1$
$\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi$ hay $x=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}).$