Bài tự luận · Bài 21
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 21
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) $y=3\sin x+5$
b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$;
c) $y=4-2\sin x\cos x$
d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$.
a) $y=3\sin x+5$
b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$;
c) $y=4-2\sin x\cos x$
d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-1\leq \sin x\leq 1$. Do đó, $2\leq 3\sin x+5\leq 8$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi $\sin x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3+\sqrt{2}$ khi $\cos 2x=1$ hay $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\cos 2x=-1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có: $y=4-2\sin x\cdot \cos x=4-\sin 2x$.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi $\sin 2x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\sin 2x=1$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi $\sin x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Ta có: $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $-1\leq \sin x\leq 1$. Do đó, $2\leq 3\sin x+5\leq 8$.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi $\sin x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $3+\sqrt{2}$ khi $\cos 2x=1$ hay $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\cos 2x=-1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có: $y=4-2\sin x\cdot \cos x=4-\sin 2x$.
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi $\sin 2x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi $\sin 2x=1$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$ khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$ khi $\sin x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.