Bài tự luận · Bài 20
Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 20
(KNTT11) Tìm tập giá trị của các hàm số sau, từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chúng:
a) $y=2+3\sin x$;
b) $y=\frac{1+4\cos^{2}x}{5}$
c) $y=2-4\sin^{2}x\cos^{2}x$
d) $y=2\sin^{2}x-\cos 2x$.
a) $y=2+3\sin x$;
b) $y=\frac{1+4\cos^{2}x}{5}$
c) $y=2-4\sin^{2}x\cos^{2}x$
d) $y=2\sin^{2}x-\cos 2x$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $-1\leq \sin x\leq 1$ nên $-3\leq 3\sin x\leq 3$, do đó $-1\leq 2+3\sin x\leq 5$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;5]$. Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi $\sin x=1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$, đạt được khi $\sin x=-1$ hay $x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.
b) Vì $0\leq \cos^{2}x\leq 1$ nên $0\leq 4\cos^{2}x\leq 4$, do đó $\frac{1}{5}\leq \frac{1+4\cos^{2}x}{5}\leq 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[ \frac{1}{5};1 \right]$. Suy ra giá trị lớn nhất của
hàm số là 1, đạt được khi $\cos^{2}x=1\Leftrightarrow \sin x=0$ hay $x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{5}$, đạt được khi $\cos x=0$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có $y=2-4\sin^{2}x\cos^{2}x=2-\sin^{2}2x=1+\cos^{2}2x$. Vì $0\leq \cos^{2}2x\leq 1$ nên $1\leq 1+\cos^{2}2x\leq 2$, với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[1;2]$. Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $\cos^{2}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0$ hay $x=k\frac{\pi}{2},(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos 2x=0$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},(k\in \mathbb{Z})$.
d) Ta có $y=2\sin^{2}x-\cos 2x=1-2\cos 2x$. Vì $-1\leq \cos 2x\leq 1$ nên $-1\leq 1-2\cos 2x\leq 3$, với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;3]$. Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\cos 2x=-1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$, đạt được khi $\cos 2x=1$ hay $x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.
b) Vì $0\leq \cos^{2}x\leq 1$ nên $0\leq 4\cos^{2}x\leq 4$, do đó $\frac{1}{5}\leq \frac{1+4\cos^{2}x}{5}\leq 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $\left[ \frac{1}{5};1 \right]$. Suy ra giá trị lớn nhất của
hàm số là 1, đạt được khi $\cos^{2}x=1\Leftrightarrow \sin x=0$ hay $x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{5}$, đạt được khi $\cos x=0$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.
c) Ta có $y=2-4\sin^{2}x\cos^{2}x=2-\sin^{2}2x=1+\cos^{2}2x$. Vì $0\leq \cos^{2}2x\leq 1$ nên $1\leq 1+\cos^{2}2x\leq 2$, với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[1;2]$. Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi $\cos^{2}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0$ hay $x=k\frac{\pi}{2},(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos 2x=0$ hay $x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},(k\in \mathbb{Z})$.
d) Ta có $y=2\sin^{2}x-\cos 2x=1-2\cos 2x$. Vì $-1\leq \cos 2x\leq 1$ nên $-1\leq 1-2\cos 2x\leq 3$, với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;3]$. Suy ra, giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\cos 2x=-1$ hay $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1$, đạt được khi $\cos 2x=1$ hay $x=k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.