Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho véc tơ $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;1;-2 } \right ),\,\,\overset\rightarrow { v }=\left ( { 1;0;m } \right ) $. Giá trị của $ m $ (làm tròn đến hàng phần trăm) để góc giữa $ u $, $ v $ bằng $ 45 ^ { ° } $là bao nhiêu

Lời giải Ta có $\cos(\overset{\rightarrow}{u}, \overset{\rightarrow}{v}) = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Công thức: $$ \frac{\overset{\rightarrow}{u} \cdot \overset{\rightarrow}{v}}{|\overset{\rightarrow}{u}| \cdot |\overset{\rightarrow}{v}|} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1(1) + 1(0) + (-2)m}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{1^{2}+0^{2}+m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1+m^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{1 - 2m}{\sqrt{3(1+m^{2})}} = 1 $$ $$ \Leftrightarrow 1 - 2m = \sqrt{3(1+m^{2})} \Rightarrow \begin{cases} 1-2m \ge 0 \\ (1-2m)^{2} = 3(1+m^{2}) \end{cases} $$ $$ \Rightarrow \begin{cases} m \le 0,5 \\ 1 - 4m + 4m^{2} = 3 + 3m^{2} \end{cases} \Rightarrow m^{2} - 4m - 2 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $m = 2 \pm \sqrt{6}$. Do điều kiện $m \le 0,5$, ta chọn $m = 2 - \sqrt{6} \approx -0,449 \approx -0,45$.