Trong không gian $ Oxyz $, cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy (Hình). Cho biết $ A(0;0;0),B(2;0;0),D(0;3;0) $ và $ S(0;0;3) $. Khi đó:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai a) Sai. Do $ C $ thuộc mặt phẳng $ (Oxy) $ với $ O $ trùng $ A $ và $ B,D $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ C $ trên các trục $ Ox,Oy $ nên $ C(2;3;0) $. b) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CD⊥AD \\ CD⊥SA \\ \end{array} ⇒CD⊥(SAD)⇒CD⊥SD \end{array} \right. $. Suy ra tam giác $ SCD $ vuông tại $ D $. Khi đó $ S_{ SCD } =\frac { 1 } { 2 }CD⋅SD=\frac { 1 } { 2 }⋅2⋅3\sqrt[] { 2 }=3\sqrt[] { 2 } $. c) Đúng. Do $ CD⊥(SAD)⇒(SCD)⊥(SAD) $. Mà $ (SCD)∩(SAD)=SD $. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ SD $, với $ H\in SD $, ta được hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ trên $ (SCD) $ là trung điểm $ H $ của $ SD $ nên $ H\left ( { 0;\frac { 3 } { 2 };\frac { 3 } { 2 } } \right ) $ (do tam giác $ SAD $ vuông cân tại $ A $). d) Sai. Ta có $ \overset\rightarrow { SC }=(2;3;-3),\overset\rightarrow { SB }=(2;0;-3),\overset\rightarrow { SD }=(0;3;-3) $. Gọi $ n $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (SCD) $. Ta có $ [\overset\rightarrow { SB },\overset\rightarrow { SD }]=(9;6;6) $ nên ta có thể chọn $ n=\frac { 1 } { 3 }[\overset\rightarrow { SB },\overset\rightarrow { SD }]=(3;2;2) $. Suy ra $ \sin\alpha =\|\sin(\overset\rightarrow { SC },n)\|=\frac { \|2⋅3+3⋅2+(-3)⋅2\| } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +(-3) ^ { 2 } }⋅\sqrt[] { 3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=\frac { 6 } { \sqrt[] { 22 }⋅\sqrt[] { 17 } } $, suy ra $ \sin\alpha < \frac { 1 } { 3 } $.