Cho các hàm số $f_1(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}$; $f_2(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x + 2} & \text{khi } x \neq -2 \\ x - 1 & \text{khi } x = -2 \end{cases}$; $f_3(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x} - 2} & \text{khi } x > 4 \\ 2x - m & \text{khi } x \le 4 \end{cases}$ và $f_4(x) = \begin{cases} (x - 2)^2 & \text{khi } x > 1 \\ k^2 & \text{khi } x = 1 \\ 2 - x^2 & \text{khi } x < 1 \end{cases}$.

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Sai. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ do đó $x_{0} = 2 otin D$. Vậy hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 2$. b) Sai. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ do đó $x_{0} = -2 \in D$. Ta có: $$ \lim_{x \to -2} f_{2}(x) = \lim_{x \to -2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x - 2) = -4 $$ và $f_{2}(-2) = -3$ do đó $\lim_{x \to -2} f_{2}(x) \neq f_{2}(-2)$. Vậy hàm số gián đoạn tại $x_{0} = -2$. c) Đúng. Xét hàm số $f_3(x)$, ta có: $$ \lim_{x \to 4^{-}} f_{3}(x) = \lim_{x \to 4^{-}} (2x - m) = 8 - m = f_{3}(4) $$ $$ \lim_{x \to 4^{+}} f_{3}(x) = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{x^{2} - 16}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 4^{+}} \frac{(x + 4)(x - 4)\Big(\sqrt{x} + 2\Big)}{x - 4} = \lim_{x \to 4^{+}} \Big[ (x + 4)\Big(\sqrt{x} + 2\Big) \Big] = 32 $$ Hàm số $f_{3}(x)$ liên tục tại $x = 4$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 4^{+}} f_{3}(x) = \lim_{x \to 4^{-}} f_{3}(x) = f_{3}(4) \Leftrightarrow 8 - m = 32 \Leftrightarrow m = -24 $$ d) Đúng. Xét hàm số $f_4(x)$, ta có: $$ \lim_{x \to 1^{+}} f_{4}(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x - 2)^{2} = 1 $$ $$ \lim_{x \to 1^{-}} f_{4}(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (2 - x^{2}) = 1 $$ và $f_{4}(1) = k^{2}$. Hàm số $f_{4}(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi $k^{2} = 1 \Leftrightarrow k = \pm 1$. Do đó với $k \neq \pm 1$ thì $f_{4}(1) \neq \lim_{x \to 1} f_{4}(x)$, suy ra $f_{4}(x)$ gián đoạn tại $x = 1$.