Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + m^{2} - 3m} & \text{khi } x > 1 \\ 3x - 1 & \text{khi } x \leq 1 \end{cases}$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tính tổng các giá trị của các phần tử của tập hợp $S$.

Lời giải Hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R} \Rightarrow x + m^{2} - 3m \geq 0, \forall x > 1$. Khi đó, hàm số $y = f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm chuyển tiếp $x = 1$. Ta tính các giới hạn một bên và giá trị hàm số: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (3x - 1) = 2 $$ $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \sqrt{x + m^{2} - 3m} = \sqrt{1 + m^{2} - 3m} $$ $$ f(1) = 2 $$ Hàm số liên tục tại $x = 1$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = f(1) \Leftrightarrow \sqrt{1 + m^{2} - 3m} = 2 $$ $$ \Leftrightarrow 1 + m^{2} - 3m = 4 \Leftrightarrow m^{2} - 3m - 3 = 0 $$ Phương trình bậc hai này luôn có hai nghiệm phân biệt $m_1, m_2$ (vì $\Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 21 > 0$). Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là: $$ m_1 + m_2 = 3 $$ Vậy tổng các phần tử của tập hợp $S$ bằng $3$.