Một chuyển động thẳng biến đổi đều trong 5 giây đầu có phương trình đường đi là $s(t) = 2t^{2} + 10t$, sau đó tiếp tục chuyển động theo phương trình $S(t) = at^{2} + 3t$ (trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Tìm giá trị của $a$.

Lời giải Ta có phương trình tổng quát của chuyển động là: $$ S(t) = \begin{cases} 2t^{2} + 10t & \text{khi } 0 \leq t \leq 5 \\ at^{2} + 3t & \text{khi } t > 5 \end{cases} $$ Vì đây là phương trình biểu diễn một chuyển động thực tế liên tục nên hàm số $S(t)$ phải liên tục trên tập xác định, đặc biệt là tại điểm ranh giới $t = 5$. Ta tiến hành tính các giới hạn một bên: $$ \lim_{t \to 5^{-}} S(t) = \lim_{t \to 5^{-}} (2t^{2} + 10t) = 2 \cdot 5^{2} + 10 \cdot 5 = 100 $$ $$ \lim_{t \to 5^{+}} S(t) = \lim_{t \to 5^{+}} (at^{2} + 3t) = 25a + 15 $$ $$ S(5) = 100 $$ Hàm số liên tục tại $t = 5$ khi và chỉ khi: $$ \lim_{t \to 5^{-}} S(t) = \lim_{t \to 5^{+}} S(t) = S(5) \Leftrightarrow 25a + 15 = 100 \Leftrightarrow 25a = 85 \Leftrightarrow a = \frac{17}{5} = 3,4 $$ Vậy giá trị tham số cần tìm là $a = 3,4$.