Giải phương trình sau: $\cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+ an x}+\sin^{2}x-\frac{1}{2}\sin 2x$

Question

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x
eq 0$. + Xét $\cos x
eq 0\Rightarrow \exists 	an x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d ight)	an^{2} x+b	an x+\left( c-d ight)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x ight)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x ight)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$. Giải phương trình sau: $\cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+	an x}+\sin^{2}x-\frac{1}{2}\sin 2x$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x
eq 0 \ \cos x
eq 0 \ 	an x
eq -1 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin 2x
eq 0 \ 	an x
eq -1 \end{array} ight.$ Ta có: $\frac{\cos 2x}{1+	an x}=\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\left( \cos x-\sin x ight)\left( \cos x+\sin x ight)}{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}=\cos x\left( \cos x-\sin x ight)$ (*) $\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=\cos^{2}x-\sin x\cos x+\sin^{2}x-\sin x\cos x$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-2\sin x\cos x \ \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}-\left( \sin x-\cos x ight)^{2}=0 \ \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x ight)\left( \frac{1}{\sin x}+\sin x-\cos x ight)=0 \ \Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x ight)\left( \sin^{2}x-\sin x\cos x+1 ight)=0 \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \ \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}-\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\cos^{2}x}=0 \end{array} ight. \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=\cos x \ 	an^{2}x-	an x+1+	an^{2}x=0 \end{array} ight. \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 	an x=1 \ 2	an^{2}x-	an x+1=0\,\left( 	ext{VN} ight) \end{array} ight.\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,\,k\in\mathbb{Z} \end{array}$ Thay vào , họ nghiệm phương trình: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,\,k\in\mathbb{Z}$

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 40