Có hai hộp bi, hộp bi thứ nhất có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 5 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 2 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng và 3 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp 2 viên bi. Có bao nhiêu cách để trong số 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng không có bi xanh.

Trường hợp 1. + Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi đỏ, có $ C_{ 4 } ^{ 2 } $ cách. + Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 6 viên bi (2 đỏ và 4 vàng), có $ C_{ 6 } ^{ 2 } $ cách. Do đó trường hợp này có $ C_{ 4 } ^{ 2 }.C_{ 6 } ^{ 2 }=90 $ cách. Trường hợp 2. + Chọn hộp thứ nhất 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có $ C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 3 } ^{ 1 } $ cách. + Chọn hộp thứ hai 2 viên bi từ 6 viên bi (2 đỏ và 4 vàng), có $ C_{ 6 } ^{ 2 } $ cách. Do đó trường hợp này có $ C_{ 4 } ^{ 1 }C_{ 3 } ^{ 1 }.C_{ 6 } ^{ 2 }=180 $ cách. Trường hợp 3. + Chọn hộp thứ nhất 2 viên bi vàng, có $ C_{ 3 } ^{ 2 } $ cách. + Chọn hộp thứ hai 2 viên bi đỏ hoặc 1 viên bi đỏ và 1 viên bi vàng, có $ C_{ 2 } ^{ 2 }+C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 4 } ^{ 1 } $ cách. Do đó trường hợp này có $ C_{ 3 } ^{ 2 }\left ( { C_{ 2 } ^{ 2 }+C_{ 2 } ^{ 1 }C_{ 4 } ^{ 1 } } \right )=27 $ cách. Vậy số cách để trong số 4 viên bi được chọn luôn có bi đỏ nhưng không có bi xanh là $ 90+180+27=297 $ cách.