Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có
a) $\tan A\tan B\tan C\geq 3\sqrt{3}$ với $ABC$ là tam giác nhọn;
b) $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh trong mọi tam giác $ABC$ ta đều có a) $	an A	an B	an C\geq 3\sqrt{3}$ với $ABC$ là tam giác nhọn; b) $\cos A+\cos B+\cos C\leq \frac{3}{2}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Vì tam giác $ABC$ nhọn nên $	an A>0$, $	an B>0$, $	an C>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $	an A+	an B+	an C\geq 3\sqrt[3]{	an A	an B	an C}$. Theo bài 2, ta có $	an A+	an B+	an C=	an A	an B	an C$ nên $	an A+	an B+	an C\geq 3\sqrt[3]{	an A	an B	an C}$ $\Leftrightarrow 	an A	an B	an C\geq 3\sqrt[3]{	an A	an B	an C}$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{	an A	an B	an C}\left( \sqrt[3]{\left( 	an A	an B	an C ight)^{2}}-3 ight)\geq 0$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{\left( 	an A	an B	an C ight)^{2}}\geq 3$ $\Leftrightarrow 	an A	an B	an C\geq 3\sqrt{3}$ b) Ta có $\cos A+\cos B+\cos C=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\cos C$ Vì $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$ nên $\cos\frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}$. Mặt khác $\cos C=1-2\sin^{2}\frac{C}{2}$. Do đó $\cos A+\cos B+\cos C=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2}$ $=-2\left( \sin^{2}\frac{C}{2}-\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}-\frac{1}{2} ight)$ $=-2\left( \sin^{2}\frac{C}{2}-2\sin\frac{C}{2}.\frac{1}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\frac{1}{4}\cos^{2}\frac{A-B}{2} ight)+1+\frac{1}{2}\cos^{2}\frac{A-B}{2}$ $=-2\left( \sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2}\cos\frac{A-B}{2} ight)^{2}+1+\frac{1}{2}\cos^{2}\frac{A-B}{2}$. Vì $\left|\cos\frac{A-B}{2}ight|\leq 1$ suy ra $\cos^{2}\frac{A-B}{2}\leq 1$ nên $\cos A+\cos B+\cos C\leq 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 26