Bài tập nâng cao · Bài 27
Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \\ A+B+C=\pi \end{array} \right.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 27
a) $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$.
b) $3\left( \cos B+\sin A \right)+4\left( \sin B+\cos A \right)=10$.
Xem lời giải
Lời giải
Suy ra $\sin\frac{A}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $A=\frac{\pi}{2}$.
Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$.
b) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có
$3\left( \cos B+\sin A \right)+4\left( \sin B+\cos A \right)\leq \sqrt{3^{2}+4^{2}}\sqrt{\left( \cos B+\sin A \right)^{2}+\left( \cos A+\sin B \right)^{2}}$
$\Leftrightarrow 10\leq 5\sqrt{2+2\sin\left( A+B \right)}$ $\Leftrightarrow 2\leq \sqrt{2+2\sin\left( A+B \right)}$ $\Leftrightarrow \sin\left( A+B \right)\geq 1$ $\Leftrightarrow \sin\left( A+B \right)=1$
Suy ra $A+B=\frac{\pi}{2}$.
Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.