Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu
a) $a\sin\left( B-C \right)+b\sin\left( C-A \right)=0$.
b) $\tan A+\cot A=\left( \sin B+\cos B \right)^{2}$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu a) $a\sin\left( B-C ight)+b\sin\left( C-A ight)=0$. b) $	an A+\cot A=\left( \sin B+\cos B ight)^{2}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Theo định lý hàm số sin, ta có: $a=2R\sin A$,$b=2R\sin B$. Do đó $a\sin\left( B-C ight)+b\sin\left( C-A ight)=0$ $\Leftrightarrow \sin A\sin\left( B-C ight)-\sin B\sin\left( A-C ight)=0$ $\Leftrightarrow \sin\left( B+C ight)\sin\left( B-C ight)-\sin\left( A+C ight)\sin\left( A-C ight)=0$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ \left( \cos 2C-\cos 2B ight)-\left( \cos 2C-\cos 2A ight) ight]=0$ $\Leftrightarrow \cos 2A=\cos 2B$ $\Leftrightarrow A=B$. Vậy tam giác $ABC$ là cân tại $C$. b) Để biểu thức có nghĩa khi và chỉ khi $A
eq \frac{\pi}{2}$. Do $	an A+\cot A=\left( \sin B+\cos B ight)^{2}\geq 0$. Hơn nữa $	an A$ và $\cot A$ cùng dấu nên suy ra $	an A\geq 0$, $\cot A\geq 0$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có $	an A+\cot A\geq 2\sqrt{	an A\cot A}=2$ $\left( 1 ight)$. Dấu $	ext{''}=	ext{''}$ xảy ra khi và chỉ khi $	an A=\cot A$ $\Leftrightarrow A=\frac{\pi}{4}$. Mặt khác, ta có $\left( \sin B+\cos B ight)^{2}=\left[ \sqrt{2}\sin\left( B+\frac{\pi}{4} ight) ight]^{2}$ $=2\sin^{2}\left( B+\frac{\pi}{4} ight)\leq 2$ $\left( 2 ight)$. Dấu $	ext{''}=	ext{''}$ xảy ra khi và chỉ khi $\sin\left( B+\frac{\pi}{4} ight)=1$ $\Leftrightarrow B=\frac{\pi}{4}$. Từ $\left( 1 ight)$ và $\left( 2 ight)$, suy ra $	an A+\cot A=\left( \sin B+\cos B ight)^{2}=2$ khi và chỉ khi $A=B=\frac{\pi}{4}$. Vậy tam giác $ABC$ là vuông cân tại $C$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 28