Bài tập nâng cao · Bài 29
Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \\ A+B+C=\pi \end{array} \right.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 29
a) $\left\{ \begin{array}{l} a=2b\cos C\quad \left( 1 \right) \\ \frac{b^{3}+c^{3}-a^{3}}{b+c-a}=a^{2}\quad \left( 2 \right) \end{array} \right.$.
b) $\left\{ \begin{array}{l} \cos B\cos C=\frac{1}{4}\quad \left( 1 \right) \\ \frac{a^{3}-b^{3}-c^{3}}{a-b-c}=a^{2}\quad \left( 2 \right) \end{array} \right.$.
Xem lời giải
Lời giải
$\Leftrightarrow \sin\left( B+C \right)=2\sin B\cos C$ $\Leftrightarrow \sin\left( B-C \right)=0$ $\Leftrightarrow B=C$ $\Leftrightarrow b=c$. $\left( 1' \right)$.
Thay $b=c$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $a^{2}=\frac{2b^{3}-a^{3}}{2b-a}$ $\Leftrightarrow a^{2}=b^{2}$ $\Leftrightarrow a=b$. $\left( 2' \right)$.
Từ $\left( 1' \right)$ và $\left( 2' \right)$ suy ra $a=b=c$.
Vậy tam giác $ABC$ đều.
b) Ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow a^{3}-a^{2}b-a^{2}c=a^{3}-b^{3}-c^{3}$ $\Leftrightarrow b^{3}+c^{3}=a^{2}\left( b+c \right)$ $\Leftrightarrow \left( b+c \right)\left( b^{2}-bc+c^{2} \right)=a^{2}\left( b+c \right)$ $\Leftrightarrow b^{2}-bc+c^{2}=a^{2}$ $\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$ $\Leftrightarrow 2bc\cos A=bc$ $\Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow A=\frac{\pi}{3}$. $\left( 1' \right)$.
Hơn nữa, $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ \cos\left( B-C \right)+\cos\left( B+C \right) \right]=\frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow \cos\left( B-C \right)-\cos A=\frac{1}{2}$
Do $\cos A=\frac{1}{2}$ nên $\cos\left( B-C \right)=1$. Suy ra $B=C$. $\left( 2' \right)$.
Từ $\left( 1' \right)$ và $\left( 2' \right)$, suy ra $A=B=C=\frac{\pi}{3}$.
Vậy tam giác $ABC$ đều.