Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu
a) $\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B\sin C}$.
b) $\frac{\sin A+\cos B}{\sin B+\cos A}=\tan A$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Tam giác $ABC$ là tam giác gì nếu a) $\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B\sin C}$. b) $\frac{\sin A+\cos B}{\sin B+\cos A}=	an A$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Áp dụng định lý hàm số sin, ta có $\begin{array}{l}\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=\frac{a}{\sin B\sin C}\Leftrightarrow \frac{2R\sin B}{\cos B}+\frac{2R\sin C}{\cos C}=\frac{2R\sin A}{\sin B\sin C} \ \Leftrightarrow \frac{\sin B\cos C+\sin C\cos B}{\cos B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B\sin C} \ \Leftrightarrow \frac{\sin A}{\cos B\cos C}=\frac{\sin A}{\sin B\sin C} \ \Leftrightarrow \cos B\cos C=\sin B\sin C\Leftrightarrow \cos\left( B+C ight)=0.\end{array}$ Suy ra $B+C=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow A=\frac{\pi}{2}$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ b) Ta có $\frac{\sin A+\cos B}{\sin B+\cos A}=	an A=\frac{\sin A}{\cos A}\Leftrightarrow \cos A\cos B-\sin A\sin B=0\Leftrightarrow \cos\left( A+B ight)=0$. Suy ra $A+B=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow C=\frac{\pi}{2}$. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 30