Chứng minh với mọi tam giác $ABC$, ta có
a) $1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C$;
b) $a\cot A+b\cot B+c\cot C=2\left( R+r \right)$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh với mọi tam giác $ABC$, ta có a) $1+\frac{r}{R}=\cos A+\cos B+\cos C$; b) $a\cot A+b\cot B+c\cot C=2\left( R+r ight)$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $\cos A+\cos B+\cos C=4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}+1$ nêu đề bài tương đương với giả thiết $1+\frac{r}{R}=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$ hay $r=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$. Ta có $VT=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}bc\sin A}{\frac{1}{2}\left( a+b+c \right)}=\frac{4R^{2}\sin A\sin B\sin C}{2R\left( \sin A+\sin B+\sin C \right)}$ $=2R\frac{8\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}{4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}=VP$. b) Áp dụng kết quả câu a) ta có $VT=a\frac{\cos A}{\sin A}+b\frac{\cos B}{\sin B}+c\frac{\cos C}{\sin C}=2R\left( \cos A+\cos B+\cos C \right)=2R\left( 1+\frac{r}{R} \right)=VP$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 31