Chứng minh với mọi tam giác $ABC$, ta có
a) $\frac{\cos\frac{A}{2}}{\ell_{A}}+\frac{\cos\frac{B}{2}}{\ell_{B}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\ell_{C}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$;
b) $bc\cos^{2}\frac{A}{2}+ca\cos^{2}\frac{B}{2}+ab\cos^{2}\frac{C}{2}=p^{2}$.

Question

Dạng 5. Bài toán tam giác Qui ước: Cho tam giác $ABC$ gọi $a,b,c$ là ba cạnh đối diện của ba góc $A,B,C$; $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao; $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến; $l_A,l_B,l_C$ là ba đường phân giác; $r$ là bán kính đường trong nội tiếp; $R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp và $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nữa chu vi. Điều kiện $A,B,C$ là ba góc của một tam giác là $\left\{ \begin{array}{l} A,B,C \ A+B+C=\pi \end{array} ight.$ nên suy ra $A+B=\pi -C$, $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$… Định lý hàm số côsin $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ Suy ra $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$, $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Định lý hàm số sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ suy ra $a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C$ Công thưc tính diện tích $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p\left( p-a ight)\left( p-b ight)\left( p-c ight)}$. Công thức phân giác $l_A=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c},\ldots$ Công thức trung tuyến $m_a^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4},\ldots$ Chứng minh với mọi tam giác $ABC$, ta có a) $\frac{\cos\frac{A}{2}}{\ell_{A}}+\frac{\cos\frac{B}{2}}{\ell_{B}}+\frac{\cos\frac{C}{2}}{\ell_{C}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$; b) $bc\cos^{2}\frac{A}{2}+ca\cos^{2}\frac{B}{2}+ab\cos^{2}\frac{C}{2}=p^{2}$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Từ công thức phân giác $\ell_{A}=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$ suy ra $\frac{\cos\frac{A}{2}}{\ell_{A}}=\frac{b+c}{2bc}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} ight)$. Tương tự, ta có $\frac{\cos\frac{B}{2}}{\ell_{B}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a} ight)$ và $\frac{\cos\frac{C}{2}}{\ell_{C}}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} ight)$. Cộng vế theo vế của các đẳng thức thì được điều cần chứng minh. b) Ta có $\begin{array}{l}VT=\frac{1}{2}bc\left( 1+\cos A ight)+\frac{1}{2}ca\left( 1+\cos B ight)+\frac{1}{2}ab\left( 1+\cos C ight) \ =\frac{1}{2}\left( ab+bc+ca ight)+\frac{1}{2}bc.\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{1}{2}ca.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}+\frac{1}{2}ab.\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \ =\frac{1}{4}\left( a+b+c ight)^{2}=p^{2}=VP\end{array}$.

Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 32