Bài tập nâng cao · Bài 33
Dạng 6. Bài toán min-max - Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết. - Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc. - Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 33
Chứng minh rằng với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ thì
a) $2\cot^{2}\alpha \geq 1+\cos 2\alpha$
b) $\cot\alpha \geq 1+\cot 2\alpha$
a) $2\cot^{2}\alpha \geq 1+\cos 2\alpha$
b) $\cot\alpha \geq 1+\cot 2\alpha$
Xem lời giải
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với
$\begin{array}{l}2\left( \frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1 \right)\geq 2\cos^{2}\alpha \Leftrightarrow \frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1\geq 1-\sin^{2}\alpha \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\sin^{2}\alpha}+\sin^{2}\alpha \geq 2\Leftrightarrow \sin^{4}\alpha -2\sin^{2}\alpha +1\geq 0\end{array}$
$\Leftrightarrow \left( \sin^{2}\alpha -1 \right)^{2}\geq 0$ (đúng) ĐPCM.
b) Bất đẳng thức tương đương với
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\geq \frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\Leftrightarrow \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\geq \frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}$ (*)
Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha >0 \\ \cos\alpha >0 \end{array} \right.$ nên
$(*)\Leftrightarrow 2\cos^{2}\alpha \geq \sin 2\alpha +\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha$
$\Leftrightarrow 1\geq \sin 2\alpha$ (đúng) ĐPCM.
$\begin{array}{l}2\left( \frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1 \right)\geq 2\cos^{2}\alpha \Leftrightarrow \frac{1}{\sin^{2}\alpha}-1\geq 1-\sin^{2}\alpha \\ \Leftrightarrow \frac{1}{\sin^{2}\alpha}+\sin^{2}\alpha \geq 2\Leftrightarrow \sin^{4}\alpha -2\sin^{2}\alpha +1\geq 0\end{array}$
$\Leftrightarrow \left( \sin^{2}\alpha -1 \right)^{2}\geq 0$ (đúng) ĐPCM.
b) Bất đẳng thức tương đương với
$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\geq \frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}\Leftrightarrow \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\geq \frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}$ (*)
Vì $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sin\alpha >0 \\ \cos\alpha >0 \end{array} \right.$ nên
$(*)\Leftrightarrow 2\cos^{2}\alpha \geq \sin 2\alpha +\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha$
$\Leftrightarrow 1\geq \sin 2\alpha$ (đúng) ĐPCM.